Л А Б О Р А Т О Р Н А Я Р А Б О Т А 4

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Ц Е Л Ь Р А Б О Т Ы - экспериментальное исследование динамических процессов в линейной системе при различных параметрах элементов системы, определение условий устойчивости и исследование влияния изменения параметров на устойчивость.

4.1. краткие сведения из теории

Устойчивость систем автоматического управления является важнейшим показателем качества системы, определяющим ее работоспособность. Для оценки устойчивости системы используют различные критерии устойчивости, в том числе критерий Гурвица, согласно которому необходимыми и достаточными условиями являются: положительность коэффициентов характеристического уравнения и минорных определителей таблицы Гурвица.

Функциональная и структурная схемы системы, исследуемой в данной лабораторной работе, изображены на рис. 4.1. система состоит из измерителя рассогласования в виде потенциометрического моста R1 и R2, напряжение на выходе которого пропорционально рассогласованию (ошибке) между входной и выходной осью

,

усилителя У, исполнительного двигателя Д и редуктора Ред.

Передаточные функции элементов следящей системы (в упрощенном виде):

измеритель рассогласования (потенциометрический мост):

, В / рад;

усилитель:

,

где k_у - коэффициент усиления;

Т_у - постоянная времени.

исполнительный двигатель:

,

где j(p) - угол поворота якоря двигателя;

k_Д - коэффициент передачи двигателя;

Т_Д - постоянная времени;

редуктор:

,

где i - передаточное соотношение редуктора;

k_p - коэффициент передачи редуктора.

Передаточная функция разомкнутой системы

, (4.1)

где k = k_П·k_У·k_Д·k_Р - коэффициент усиления системы.

Передаточная функция замкнутой системы

. (4.2)

Для нахождения характеристического уравнения замкнутой системы G(p) запишем полином знаменателя передаточной функции (4.2) и приравняем его к нулю:

или

, (4.3)

где ; ; ; .

Из соотношений (4.2) и (4.3) видно, что исследуемая система имеет третий порядок, а характеристическое уравнение третью степень.

По физическим соображениям коэффициенты характеристического уравнения (4.3) всегда положительны, и, следовательно, необходимо условие -положительность коэффициентов характеристического уравнения выполняется.

Для устойчивости системы третьего порядка требуется еще и выполнения условия положительности минорного определителя второго порядка:

. (4.4)

Подставим в неравенство (4.4) параметры элементов системы и найдем соотношения между параметрами, при которых система будет устойчива

.

Откуда

. (4.5)

Из неравенства (4.5) следует, что увеличение коэффициента приводит к ухудшению устойчивости. (Заметим здесь, что, с другой стороны, увеличение коэффициента усиления повышает точность системы при воспроизведении входного сигнала).

Предельное значение коэффициента усиления системы, то есть значение, при котором система будет находится на границе устойчивости, будет определятся равенством:

или ,

а также при .

Таким образом, система будет устойчива, если коэффициент усиления системы буден находится в интервале:

(4.6)

Аналогичные условия устойчивости можно определить и для других параметров системы Т_У и Т_Д. Заметим, что для определения условий устойчивости можно применять и другие критерии устойчивости.

Выполнение условий устойчивости (4.4) или (4.6) гарантирует только устойчивость системы. Между тем, при различных значениях коэффициента усиления (или других параметров) в пределах неравенства (4.6) хотя система и будет устойчивой, но качество системы (т.е. переходные процессы в системе) будет различным. При одних значениях к переходный процесс будет апериодическим, при других - колебательным, продолжительность переходных процессов также будет различной. Различной будет и точность системы.

Соотношение (4.5) показывает, что при увеличении постоянных времени Т_У и Т_Д области устойчивости сужаются.

4.2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Собрать схему моделируемой системы согласно рис.4.2.

2. Установить коэффициенты k₁ = k₂ = 1; T₁ = 0.2 c; T₂ = 0.2 c; k₃ > 0.

3. Определить экспериментально граничное значение коэффициента передачи разомкнутой цепи модели системы. Для этого необходимо, постепенно увеличивая значение коэффициента k₃, добиться незатухающих колебаний на выходе системы. График переходного процесса представить в отчете.

4. Изменяя значение k₃, получить три вида переходных процессов в системе: апериодический монотонный, апериодический c перерегулированием и затухающий колебательный. Для каждого вида переходного процесса указать значение k₃ и представить в отчете графики переходных процессов.

5. Рассчитать граничное значение коэффициента передачи разомкнутой системы и сопоставить его с экспериментальным.

6. Построить графически область устойчивости исследуемой системы по параметру k.

7. Построить логарифмическую амплитудную L(w) и фазовую j(w) частотные характеристики моделируемой системы для разомкнутой цепи при четырех значениях k, соответствующих полученным по п. 3 и 4 данного раздела.

4.3 Содержание отчета

Отчет о лабораторной работе должен содержать:

1. Краткое описание задачи и метода исследования.

2. Схему моделирования.

3. Графики переходных процессов с указанием коэффициентов передачи.

4. Расчет kгр, графическое представление области устойчивости системы.

5. Логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики системы.

6. Выводы по работе с анализом результатов и расчетов.