Интерполирование алгебраическими многочленами

Пусть функциональная зависимость задана таблицей y_{0 =} f(x₀);…, y₁= f(x₁);…,y_{n =} f(x_n). Обычно задача интерполирования формулируется так: найти многочлен P(x) = P_n(x) степени не выше n, значения которого в точках x_i (i = 0, 1 2,…, n) совпадают со значениями данной функции, то есть P(x_i) = y_i.

Геометрически это означает, что нужно найти кривую вида

проходящую через заданную систему точек (x_i,y_i).

Многочлен Р(х) называется интерполяционным многочленом. Точки x_i (i = 0, 1, 2,…, n) называются узлами интерполяции.

Наиболее употребительна запись интерполяционного многочлена в форме Лагранжа и в форме Ньютона.

Интерполяционный многочленЛагранжаимеет вид:

.

или

При n=1 получается формула линейной интерполяции, при n=2 – квадратичной интерполяции и т.д.

В системе MathCAD существуют встроенные функции линейной и сплайн-интерполяции. При линейной интерполяции узловые точки соединяются отрезками прямых. Если х выходит за пределы конечных точек, то осуществляется линейная экстраполяция по отрезкам прямых, примыкающим к конечным точкам. При сплайн-интерполяции зависимость у(х) заменяется кусками полиномов третьей степени. Каждый полином проходит точно через три ближайшие узловые точки. Коэффициенты полинома подбираются так, чтобы обеспечить не только непрерывность функции в узловых точках, но и непрерывность ее двух производных. Эти свойства сплайн-интерполяции позволяют эффективно применять ее даже при малом числе узловых точек – до 5-7 для простых функций.

Интерполяция реализуется с помощью следующих функций:

- linterp(X,Y,x) –вычисляет значение у(х) для заданного х при линейной интерполяции,

- cspline(X,Y) – вычисляет вектор V вторых производных при сплайн-интерполяции и кубической экстраполяции,

- pspline(X,Y) – вычисляет вектор V вторых производных при сплайн-интерполяции и параболической экстраполяции,

- lspline(X,Y) – вычисляет вектор V вторых производных при сплайн-интерполяции и линейной экстраполяции,

- interp(V,X,Y,x) – вычисляет значение у(х) для заданного х при сплайн-интерполяции.

Рисунок 7 – Кусочно-линейная интерполяция

Рисунок 8 – Интерполяция сплайнами

Рисунок 9 – Использование интерполяционного многочлена Лагранжа

Протабулируем функцию на интервале [-1, 2] и вычислим одно значение заданной функции для промежуточного значения аргумента x=1 с помощью сплайн-интерполяции.

Рисунок 10 – Вычисление значения функции

с использованием сплайн-интерполяции

Задание 1.Определить значения функции в точках х1 и х2 в MathCAD, используя встроенные функции линейной, сплайн-интерполяции и многочлен Лагранжа. Построить графики исходной и интерполирующих функций.

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8

Вариант 9

Вариант 10

Вариант 11

Вариант 12

Задание 2.Протабулировать функцию f(x) на интервале [0, 3] c шагом 0.5 и вычислить с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа и сплайн-интерполяции значение в одном из узлов интерполяции и одно значение заданной функции для промежуточного значения аргумента x. Построить графики.

, где b=№варианта, a=b/10.