Практическая работа №4. Обработка экспериментальных данных

 

Предположим, что в результате измерений в процессе экспериментов были получены n пар значений: (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (x_n, y_n). Задача состоит в том, чтобы найти приближенную зависимость y = f(x), значения которой при x = x_i(i=1,…,n) мало отличаются от опытных данных y_i.

Приближенная функциональная зависимость, полученная на основании экспериментальных данных, называется ЭМПИРИЧЕСКОЙ ФОРМУЛОЙ или уравнением регрессии.

Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов: подбора общего вида этой формулы и определения наилучших значений содержащихся в ней параметров.

Общий вид формулы обычно выбирается из геометрических соображений: экспериментальные точки наносятся на график, и примерно угадывается общий вид зависимости путем сравнения полученной кривой с графиками известных функций (многочлена, показательной или логарифмической функции и т.п.).

Когда тип эмпирической формулы выбран, ее можно представить в виде:

 

y=f(x,a₁,a₂,…,a_m).

(1)

где f – известная функция, a₁,a₂,…,a_m – неизвестные постоянные параметры, необходимо определить такие значения этих параметров, которые дают наилучшее приближение.

ОТКЛОНЕНИЕМ e_i называется разность между значениями эмпирической функции (1) в точках x₁ (i =1,…,n) и опытными данными y_i :

 

e_i=f(x_i,a₁,a₂,…,a_m)-y_i .

(2)

Задача нахождения наилучших значений параметров сводится к некоторой минимизации отклонений e_i.

Запишем сумму квадратов отклонений для всех точек x₁, x₂,…, x_n:

 

(3)

 

Параметры a₁, a₂,…, a_m эмпирической формулы (1) будем находить из условия минимума функции S. В этом состоит метод наименьших квадратов. Минимум функции находим из условия равенства нулю частных производных по всем параметрам:

 

… (4)

 

Полученные соотношения - система линейных уравнений для опреде-ления неизвестных параметров.

Например, для линейной функции y = ax + b эта система имеет вид:

 

 

Решая эту систему уравнений, получаем

 

(5)

,

 

где (6)

 

– значение дисперсии величины X, определяемой по формуле:

 

Коэффициент корреляции можно вычислить по формуле:

 

 

В системе MathCAD существуют встроенные функции для вычисления коэффициентов а и b линейной зависимости y=ax+b:

- slope(x,y) - возвращает значение коэффициента а;

- intercept(x,y) - возвращает значение коэффициента b.

Формулы для вычисления коэффициентов а и b линейной зависимости можно применять для нахождения параметров эмпирических функций, график которых не является прямой линией.

Так, если эмпирическая формула имеет вид степенной функции y=kx^m, то, введя обозначения У=lnyиX=lnx можно воспользоваться формулами для вычисления коэффициентов а и b линейной зависимости и выразить через них значения коэффициентов k и m: k=e^bиm=a.

Если эмпирическая формула имеет вид показательной функции y=pe^qx, то, введя обозначения У=lnyиX=x и вычислив коэффициенты а и b линейной зависимости, можно выразить через них значения коэффициентов pиq: p=e^bиq=a.

Рисунок 11- Построение эмпирических функций

Задание. По предприятиям промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость увеличения объема выпуска продукции (y, %.) от объема капиталовложений (x, млн. руб.).

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии (различными способами).

2. Рассчитать коэффициент парной корреляции, коэффициент детерминации.

3. Выполнить прогноз объема выпуска продукции y_i при прогнозном значении x_i, составляющем 10+№ варианта.

4. На одном графике изобразить исходные данные и теоретическую прямую.

Расчетные данные:

Вариант1

x
y	18,0	23,5	38,6	47,3	85,0	99,0	105,0	140,0	157,8	185,0

Вариант2

x
y		4,3	4,4	4,6	5,0	5,1	5,2	5,4	5,3	5,1

Вариант3

x
y	1,7	2,0	2,4	2,9	4,2	5,1	6,2	9,2	16,6	20,2

Вариант4

x
y	2,1	2,9	3,7	4,1	4,6	5,1	5,9	6,8	7,7	6,0

Вариант5

x
y	1,8	2,7	3,5	3,9	4,2	4,7	5,7	6,2	6,5	7,2

Вариант6

x
y	3,9	4,3	4,6	4,7	4,8	4,9	5,0	5,1	5,45	5,5

Вариант7

x
y	2,8		4,2	5,1	5,4	5,9	7,3	6,4		7,8

Вариант8

x
y	3,5		6,8	8,1	9,1	9,6	10,5	12,3	16,8

Вариант9

x
y	4,1	4,2	5,3	6,1	7,2	9,2	9,9	11,5	14,3	17,6

Вариант10

x
y	5,4	6,2	6,9	7,2	7,8	8,1	9,8	10,1	9,1	9,3

Вариант11

x
y	3,5	4,5	5,9	6,7	7,5	7,9	8,6	9,9	12,1	12,8

Вариант12

x
y	8,1		10,2	10,8	12,3	13,1	17,4	18,7	16,9	14,8