Колебательный контур. Добротность контура

Колебательный контур — осциллятор, представляющий собой электрическую цепь, содержащую соединённые катушку индуктивности и конденсатор. В такой цепи могут возбуждаться колебания тока (и напряжения).

Пусть конденсатор ёмкостью C заряжен до напряжения . Энергия, запасённая в конденсаторе составляет:

При соединении конденсатора с катушкой индуктивности, в цепи потечёт ток , что вызовет в катушке ЭДС самоиндукции, направленную на уменьшение тока в цепи. Ток, вызванный этой ЭДС (при отсутствии потерь в индуктивности) в начальный момент будет равен току разряда конденсатора, то есть результирующий ток будет равен нулю. Магнитная энергия катушки в этот (начальный) момент равна нулю.

Затем результирующий ток в цепи будет возрастать, а энергия из конденсатора будет переходить в катушку до полного разряда конденсатора. В этот момент электрическая энергия конденсатора . Магнитная же энергия, сосредоточенная в катушке, напротив, максимальна и равна

, где — индуктивность катушки, — максимальное значение тока.

После этого начнётся перезарядка конденсатора, то есть заряд конденсатора напряжением другой полярности. Перезарядка будет проходить до тех пор, пока магнитная энергия катушки не перейдёт в электрическую энергию конденсатора. Конденсатор, в этом случае, снова будет заряжен до напряжения .

В результате в цепи возникают колебания, длительность которых будет обратно пропорциональна потерям энергии в контуре.

В общем, описанные выше процессы в параллельном колебательном контуре называются резонанс токов, что означает, что через индуктивностьи ёмкость протекают токи, больше тока проходящего через весь контур, причем эти токи больше в определённое число раз, которое называется добротностью. Эти большие токи не покидают пределов контура, так как они противофазны и сами себя компенсируют. Стоит также заметить, что сопротивление параллельного колебательного контура на резонансной частоте стремится к бесконечности (в отличие от последовательного колебательного контура, сопротивление которого на резонансной частоте стремится к нулю), а это делает его незаменимым фильтром.

Стоит заметить, что помимо простого колебательного контура, есть ещё колебательные контуры первого, второго и третьего рода, что учитывают потери и имеют другие особенности.

Резонансная частота контура определяется так называемой формулой Томсона:

Напряжение, возникающее в катушке при изменении протекающего тока равно

Аналогично для тока, вызванного изменением напряжения на конденсаторе:

Поскольку всё возникающее в катушке напряжение падает на конденсаторе, то , а ток, вызванный конденсатором проходит через катушку, то . Дифференцируя одно из уравнений и подставляя результат в другое, получаем:

Это уравнение гармонического осциллятора с циклической частотой:

Решением такого уравнения является:

Добротносью контура (истинная) – это отношение полной проводимости к величине активной проводимости:

Q= Yв/G= . Добротность контура тем выше, чем меньше величина проводимости или больше величина сопротивлений.

39) Параллельное соединение R-L-C элементов. Треугольник токов и проводимостей.

Имеем цепь:

Zэкв1=R1+jX1; Zэкв2=R2-jX2; I1=U/Zэкв1; I2=U/Zэкв2; I=I1+I2=U(1/ Zэкв1+ Zэкв2)=U(Yэкв1+ Yэкв2)=UY

Yэкв1=1/(R1+jX1)=(R1+jX)/(R²1+X²1)=R1/( R²1+X²1)-jX1/( R²1+X²1)=G - jB_L,

где G=R1/ (R²1+X²1), B_L=X1/ (R²1+X²1)

Если в ветви вместо L имеется С то в этом случае составляющие реактивной проводимости записываются со знаком «+»: Yэкв2= G + jB_с

Треугольник проводимостей:

G1=Ycosα; B_L=Ysinα; Y= *e^-jarctgBL/G1

Iα=G1*U; Ip=BL*U

Треугольник токов

I=(I²a+I²p)^0.5

Ì=(I²a+I²p)^0.5e^-jarctgIp/Ia