Приложение теории к решению задач
I. Построить кривую (а) Решение. Искомое уравнение содержит только один член с третьей степенью и этот член имеет коэффициентом единицу. Следовательно, нет асимптот, параллельных оси х. Действительно, деля на х3, получим: . Переходя к пределу и предполагая, что при этом у сохраняет конечное значение, придем к невозможному равенству 1=0. Зато уравнение содержит два члена с высшей степенью y2. Деля на y2 и переходя к пределу предполагая, что х сохраняет конечное значение, получим в пределе . Это будет уравнение асимптоты, параллельной оси ординат. Дифференцируя правую часть уравнения по x и по y, получим . Мы видим, что Fx как сумма трех положительных чисел не обращается в нуль. Следовательно, кривая не имеет касательных, параллельных оси абсцисс. Производная Fy обращается в нуль при х=1; это соответствует найденной асимптоте. Кроме того, F обращается в нуль и касательная становится параллельной оси у при пересечении оси кривой с осью абсцисс y=0. Уравнение (а) при этом принимает вид: Второй множитель, очевидно, отличен от нуля (сумма положительных чисел), а первый показывает, что кривая пересекает ось абсцисс в начале координат, касаясь, следовательно, оси ординат. Уравнение (а) может быть разрешено относительно у2: . Так как в левой части стоит квадрат, то правая часть должна быть положительна. Второй множитель числителя, x2+1, всегда положителен. Значит, должно быть: или , или .
Отсюда следует, что х не может быть отрицательным (ибо отрицательное число — меньше всякого положительного числа) и, значит, x<1 (чтобы было больше единицы). Итак, кривая существует только для значений х в интервале
(рис. 6) Следовательно, абсцисса х не может расти до бесконечности. II. Построить график функции ,заданной неявно Решение. Рассмотрим такую функцию . Частная производная F по x равна . При y > 0: производная больше нуля при , и меньше нуля при ,т.е. точка минимума. Найдем значение F в точке минимума . Это значит при y > 0 будет F(x,y) > 0 при всех x, то есть решений у уравнения в области y > 0 нет. При y=0 равенство обращается . Это уравнение также не имеет решений. При y < 0: производная функции будет больше нуля при всех x, то есть функция монотонно растёт с ростом x. При больших по модулю отрицательных x функция примерно равно - xy, то есть меньше нуля. При больших по модулю положительных x функция примерно равно , т.е. больше нуля. Следовательно, при любом y < 0 искомое уравнение будет иметь ровно один корень (в силу монотонности F(x,y), корней не может быть больше одного, а в силу того, что F(x,y) меняет знак, хотя бы один корень есть). В силу того, что корень уравнения при любом y < 0 лежит на диапазоне x < 0. Далее рассмотрим полный дифференциал функции. для искомого графика df = 0, т.е. . Кроме того, для точек искомого графика значит С учётом того, что для всех точек графика x < 0, y < 0 отрицательно вычислим вторую производную При x < 0, y < 0 это выражение отрицательно. При x стремящемся к минус бесконечности, стремится к нулю. Если x достаточно велико по сравнению с y, y будет близко к . На основании всего вышеизложенного можно сказать о графике следующее График расположен в третьей четверти (x < 0, y < 0)
График является убывающей функцией ( ) График функции является выпуклым вверх ( ) В силу симметрии уравнения график является симметричным относительно y=x (рис. 7) График имеет асимптоту y=0 III. Найти производную неявно заданной функции Решение. Продифференцируем обе части данного выражения по х, учитывая, что у функция от х и производная от неё берется как от сложной функции Выразим из этого равенства Ответ: IV. Построить кривую (а) Решение. Так как уравнение кривой не содержит свободного члена и членов первой степени, то начало координат — особая точка. Пара касательных вначале определяется уравнением x2+y2=0. Касательные мнимы. Особая точка — изолированная. Кривая имеет асимптоту, параллельную оси ординат ( x=1), ибо для этого значения х коэффициент при у2 обращается в нуль. Кроме того, она имеет две асимптоты, не параллельные осям координат. Действительно, если разделить уравнение (а) на x3и перейти к пределу , то получим для уравнение т.е. С другой стороны, внося в уравнение (а) и помня, что k2 = 1 получим: , откуда при и имеем: ибо . Значит, кривая имеет две асимптоты: Они пересекают кривую в общей точке x=-1, у=0. Так как уравнение (а) содержит у только в квадрате, то кривая симметрична относительно оси х. С другой стороны, разрешая уравнение относительно у2 видим, что ордината будет действительной, кроме начала координат, только вне отрезка , единственное исключение — особая точка x=0, у=0, откуда еще раз видно, что эта точка — изолированная. Дифференцируя, имеем: откуда Касательная параллельна оси ординат, если 1) y=0или 2) x=1. В первом случае мы найдем, кроме особой точки (0, 0), точку пересечения асимптот х=-1, у =0; во втором мы придем к несобственной точке. Касательная параллельна оси абсцисс, если Внося это значение в уравнение (а) и сокращая на х (что соответствует исключению особой точки), получим: откуда: . Только первый корень приводит к действительному значению ординаты у. Имеем таблицу опорных точек (рис. 8):
V. Построить кривую (а).
Так как y, очевидно, должно быть положительно, то кривая в окрестности начала лежит выше оси абсцисс. Кривая имеет асимптоту. Деля уравнение (а) на и переходя к пределу , , получим: Полагая и внося в уравнение (а), получим . Деля на и переходя к пределу , , получим: Отсюда асимптота: . Она пересекается с кривой в точке . Кривая имеет с осью ординат только одну общую точку – особую; ось абсцисс она пересекает еще в точке (1,0). Дифференцирую, имеем: . Откуда: . Касательная параллельна оси абсцисс в точке . Она параллельна оси ординат только в точках пересечения кривой с осью абсцисс. Имеем таблицу опорных точек (рис. 9)
Глава II. Некоторые вопросы методики изучения линий на плоскости в школьном курсе математики.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (424)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |