Дисперсия дискретной случайной величины

Математическое ожидание не дает полной характеристики закона распределения случайной величины.

Например, пусть заданы две дискретные случайные величины Х и У своими законами распределения:

Несмотря на то, что математические ожидания Х и У одинаковы М(Х)=М(У)=0, возможные значения Х и У «разбросаны» или «рассеяны» около своих математических ожиданий по-разному: возможные значения величины Х расположены гораздо ближе к своему математическому ожиданию, чем значения величины У.

При одинаковой средней величине годовых осадков одна местность может быть засушливой и неблагоприятной для сельскохозяйственных работ (нет дождей весной и летом), а другая благоприятной для ведения сельского хозяйства.

Значит, возникает необходимость введения новой числовой характеристики случайной величины, по которой можно судить о «рассеянии» возможных значений этой случайной величины.

Пусть задана дискретная случайная величина Х:

Определение 1. Отклонением случайной величины Х от ее математического ожидания М(Х) (или просто отклонением случайной величины Х) называют случайную величину Х-М(Х).

Для того чтобы отклонение случайной величины Х приняло значение -М(Х), достаточно, чтобы случайная величина Х приняла значение .

Вероятность этого события равна , значит и вероятность того, что отклонение случайной величины Х примет значение -М(Х), также равна . Используя это, запишем закон распределения отклонения случайной величины Х :

Х - М(Х)	- М(Х)	- М(Х)	…	- М(Х)
р			…

Вычислим математическое ожидание отклонения Х-М(Х), получим: М(Х-М(Х))=М(Х)-М(Х)=0.

Справедлива следующая теорема:

Теорема.Математическое ожидание отклонения Х-М(Х) равно нулю.

Из теоремы видно, что с помощью отклонения не удается определить среднее отклонение возможных значений величины Х от ее математического ожидания, т.е. степень рассеяния величины Х.

Запишем закон распределения случайной величины (Х-М(Х))² ( рассуждая аналогично, как и в случае случайной величины Х-М(Х) ).

(Х-М(Х))2	( -М(Х))2	( -М(Х))2	…	( -М(Х))2
р			…

Определение. Дисперсией D(X) дискретной случайной величины Х называют маиематическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания: D(X)= (Х-М(Х))².