Дисперсия дискретной случайной величины
Математическое ожидание не дает полной характеристики закона распределения случайной величины. Например, пусть заданы две дискретные случайные величины Х и У своими законами распределения:
Несмотря на то, что математические ожидания Х и У одинаковы М(Х)=М(У)=0, возможные значения Х и У «разбросаны» или «рассеяны» около своих математических ожиданий по-разному: возможные значения величины Х расположены гораздо ближе к своему математическому ожиданию, чем значения величины У. При одинаковой средней величине годовых осадков одна местность может быть засушливой и неблагоприятной для сельскохозяйственных работ (нет дождей весной и летом), а другая благоприятной для ведения сельского хозяйства. Значит, возникает необходимость введения новой числовой характеристики случайной величины, по которой можно судить о «рассеянии» возможных значений этой случайной величины. Пусть задана дискретная случайная величина Х: Определение 1. Отклонением случайной величины Х от ее математического ожидания М(Х) (или просто отклонением случайной величины Х) называют случайную величину Х-М(Х). Для того чтобы отклонение случайной величины Х приняло значение -М(Х), достаточно, чтобы случайная величина Х приняла значение . Вероятность этого события равна , значит и вероятность того, что отклонение случайной величины Х примет значение -М(Х), также равна . Используя это, запишем закон распределения отклонения случайной величины Х :
Вычислим математическое ожидание отклонения Х-М(Х), получим: М(Х-М(Х))=М(Х)-М(Х)=0. Справедлива следующая теорема: Теорема.Математическое ожидание отклонения Х-М(Х) равно нулю. Из теоремы видно, что с помощью отклонения не удается определить среднее отклонение возможных значений величины Х от ее математического ожидания, т.е. степень рассеяния величины Х. Запишем закон распределения случайной величины (Х-М(Х))2 ( рассуждая аналогично, как и в случае случайной величины Х-М(Х) ).
Определение. Дисперсией D(X) дискретной случайной величины Х называют маиематическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания: D(X)= (Х-М(Х))2. Из закона распределения величины (Х-М(Х))2 следует, что Свойства дисперсии дискретной случайной величины 1. Дисперсия дискретной случайной величины Х равна разности между математическим ожиданием квадрата величины Х и квадратом ее математического ожидания: D(X)=M(X2)-M2(X). С помощью этого свойства и свойств математического ожидания устанавливаются следующие свойства: 2. Дисперсия постоянной величины С равна нулю. 3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат: . 4. Дисперсия суммы двух независимых величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X+Y)=D(X)+D(Y). Методом математической индукции это свойство распросраняется и на случай любого конечного числа слагаемых. Следствием свойств 3 и 4 является свойство 5. 5. Дисперсия разности двух независимых величин Х и У равна сумме их дисперсий: D(X-Y)=D(X)+D(Y). Определение. Средним квадратическим отклонением (Х) Случайной величины Х называется корень квадратный из дисперсии: (Х)= . Т.к. дисперсия измеряется в квадратных единицах относительно размерности самой случайной величины, то в тех случаях, когда нужно иметь числовую характеристику рассеяния возможных значений в той же размерности, что и сама случайная величина и используют среднее квадратическое отклонение.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (550)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |