Лекция 29-30. Приложения определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа соответственно прямыми х=а и x=b, снизу отрезком оси Ох, вычисляется по формуле (1)

Если при , то (2)

Эти формулы можно объединить в одну (3)

Площадь фигуры, ограниченной кривыми и , причем , прямыми х=а и x=b вычисляется по формуле (4)

Если криволинейная трапеция ограничена кривой , прямыми y=c, y=d и отрезком оси Оу, то её площадь вычисляется по формуле (5)

Если криволинейная трапеция ограничена сверху кривой, заданной параметрическими уравнениями , прямыми х=а и x=b и отрезком оси Ох, то её площадь вычисляется по формуле (6) где t₁ и t₂ определяются из равенств .

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и двумя лучами , вычисляется по формуле (7)

Вычисление длины дуги кривой

Пусть кривая на плоскости задана уравнением или . На кривой выбраны точки А и В с координатами: А(а,с), В(c,d). Длина l дуги кривой от точки А до В вычисляется по формуле: (1) и (2).

Если кривая задана параметрическими уравнениями , то длина дуги вычисляется по формуле (3). Если кривая задана уравнением в полярных координатах , то длина дуги кривой вычисляется по формуле (4).

Объем тела вращения

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох

криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью Ох и двумя вертикалями х=а и x=b (рис.4), вычисляется по формуле (1). Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью Оу и двумя параллелями у=с и y=d , вычисляется по формуле

Площадь поверхности вращения

Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги кривой между точками с абсциссами х=а и x=b, выражается формулой (1).

( - дифференциал дуги кривой).

Если кривая задана параметрическими уравнениями , то (2)

где t₁ и t₂- значения параметра t, соответствующие концам вращаемой дуги.

Физические (механические) приложения определенного интеграла

А) Путь, пройденный телом, перемещающимся со скоростью , за промежуток времени , выражается интегралом:

Б) Работа переменной силы, заданной функцией и направленной вдоль оси Ох на отрезке равна интегралу:

В) Давление жидкости на горизонтальную пластину равно весу столба этой жидкости («закон Паскаля»), т. е. , где ускорение свободного падения, - плотность жидкости, — площадь пластинки, - глубина ее погружения.

Давленое жидкости на вертикальную пластину, ограниченную линиями х = а, х = в, и , вычисляется по формуле

Г) Статические моменты, относительно координатных осей, моменты инерции и координаты центра тяжести плоской дуги , , находятся соответственно по формулам где - дифференциал дуги. (здесь — координаты центра тяжести, а т — масса кривой).

СЕМЕСТР