Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)¹0) применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа. Суть метода Бернулл заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций . При этом очевидно, что - дифференцирование по частям. Подставляя в исходное уравнение, получаем: Т.к. первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению. Одну из составляющих произведение функций выбрать так, что выражение . Тогда функцию u можно получить, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме: Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное выражение для функции u в исходное уравнение с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю. Интегрируя, можем найти функцию v: ; ; Т.е. была получена вторая составляющая произведения , которое и определяет искомую функцию. Подставляя полученные значения, получаем: Окончательно получаем формулу: , С2 - произвольный коэффициент. Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли. Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом вариации произвольной постоянной. Вернемся к поставленной задаче: Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене ее нулем. Далее находится решение получившегося однородного дифференциального уравнения: . Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную С1 некоторой функцией от х. Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем: Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение Из этого уравнения определим переменную функцию С1(х): интегрируя, получаем: Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем: . Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с результатом расчета по методу Бернулли. При выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует руководствоваться простотой интегрирования функций, входящих в исходный интеграл. Определение. Уравнением Бернуллиназывается уравнение вида где P и Q – функции от х или постянные числа, а n – постоянное число, не равное 1. Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку , с помощью которой, уравнение Бернулли приводится к линейному. Для этого разделим исходное уравнение на yn. Применим подстановку, учтя, что . Т.е. получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z. Решение этого уравнения будем искать в виде:
Уравнения в полных дифференциалах (тотальные). Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида: называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции u, после чего решение легко находится в виде: Для решения надо определить: 1) в каком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал функции u; 2) как найти эту функцию. Если дифференциальная форма является полным дифференциалом некоторой функции u, то можно записать: Т.е. . Найдем смешанные производные второго порядка, продифференцировав первое уравнение по у, а второе – по х: Приравнивая левые части уравнений, получаем необходимое и достаточное условие того, что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом. Это условие также называется условием тотальности. Рассмотрим вопрос о нахождении собственно функции u. Проинтегрируем равенство : Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину С, а некоторую функцию С(у), т.к. при интегрировании переменная у полагается постоянным параметром. Определим функцию С(у). Продифференцируем полученное равенство по у. Откуда получаем: Для нахождения функции С(у) необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Однако, перед интегрированием надо доказать, что функция С(у) не зависит от х. Это условие будет выполнено, если производная этой функции по х равна нулю. Теперь определяем функцию С(у): Подставляя этот результат в выражение для функции u, получаем: Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид: Следует отметить, что при решении уравнений в полных дифференциалах не обязательно использовать полученную формулу. Решение может получиться более компактным, если просто следовать методу, которым формула была получена.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (471)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |