Определение определенного интеграла.
Пусть на промежутке [a,b] задана функция Определение 1: Разбиением промежутка [a,b] будем называть любой набор точек вида . Если в каждом из частичных промежутков выбрана точка то говорят, что задано разбиение с фиксированными точками. Обозначим Возьмем некоторое разбиение промежутка [a,b] и составим сумму Наибольшую из разностей Определение 2: Если существует конечный предел при то он называется о.и. от функции по промежутку [a,b]. Обозначается . a и b называют верхний и нижний пределы интегрирования. Итак, непосредственно по определению (3) . называется интегрируемой суммой для функции f по разбиению P. Равенство (3) можно понимать в том случае, что последовательное значение интегральной суммы, отвечающей любой основной последовательности разбиения промежутка, всегда стремится к пределу I как не выбирать при этом точки . Теперь формулы (1) и (2) получают более конкретный смысл (1’) В этом заключается геометрический смысл о.и.. (2’) – механический смысл о.и. Функции, которые имеют такой интеграл, называются интегрируемые по Риману, Риманов интеграл. Множество интегрируемых на [a,b] функций обозначаем R([a,b]). Выясним условие при которых интегральная сумма имеет конечный предел, то есть существует о.и.. Заметим, что определение 2 может быть приложено лишь к ограниченной функции. Если бы была не ограничена на [a,b], то при любом разбиении промежутка [a,b], хотя бы в каком-либо частичном промежутков она осталась бы неограниченной поэтому интегральная сумма за счет выбранных была бы неограниченна и соответственно конечного предела существовать не могло. Итак, интегрируемая функция необходимо ограничивать. В дальнейшем будем считать ограниченную . 14 Суммы Дарбу. Свойства сумм Дарбу. 1) Обозначим и соответственно нижнюю и верхнюю границы для функции на промежутке Составим суммы (нижняя сумма Дарбу) и (верхняя сумма Дарбу) Из определения нижней и верхней границ известно, что . Поэтому, умножив все части неравенства и просуммировав их, получим, что При заданном разбиении промежутка, суммы Дарбу служат точными нижней и верхней границами для интегральной суммы. Суммы Дарбу обладают следующими свойствами: 1. Если к имеющимся точкам деления промежутка добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу может от этого только возрасти, а верхняя только уменьшится. Доказательство: Пусть задано разбиение R. Добавим к этому разбиению еще одну точку . Обозначим через новую полученную сумму Дарбу. От прежней суммы она будет отличаться тем, что в промежутку соответствует слагаемое , а в новой этому же промежутку будет соответствовать , где верхняя граница на , а на . Т.к. было точной верхней границей на всем промежутке , то ; Тогда получается, что Получаем, что . Для нижней суммы Дарбу аналогично.
2. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы, хотя бы отвечающей к другому разбиению промежутка. Доказательство: Рассмотрим разбиение промежутка [a,b] и рассмотрим и . Рассмотрим теперь другое, не связанное с первым разбиение. Ему будут соответствовать суммы и . Докажем, что Объединим точки деления первого и второго разбиения, то есть получим третье вспомогательное разбиение, которому будут отвечать суммы и . Т.к. третье разбиение получено из первого добавлением новых точек, то согласно свойству 1 получаем, что . Сопоставив второе и третье разбиение, также заключаем, что , но т.к. , то получим ; Замечание: Из доказанного следует, что все множители нижних сумм {S} ограничено сверху (например, любой верхней суммой) в таком случае это множество имеет конечную верхнюю точную границу. для всех нижних сумм т.к. множество верхних сумм {S} оказывается ограничено снизу ( ), то оно имеет точную нижнюю границу причем . В результате имеем (1). Числа и называют нижним и верхним интегралами Дарбу.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (362)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |