Основная формула интегрального исчисления.
Пусть f(x) непрерывна на [a,b], тогда будет являться первообразной функцией для f(x), т.к. ( ). Если теперь F(x) любая первообразная для f(x), то . Для определения с(const). x=b (*) Формула Ньютона-Лейбница. Основная формула интегрального исчисления. Значение о.и. выражается разностью двух значений при x=a и x=b. Если применить теорему о среднем и учтем, что , то получим, что Получили формулу для конечных приращений Лагранжа для F(x). Таким образом, основная формула (*) устанавливает связь между теоремой о среднем, дифференциальным и интегральным исчислении.
Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Пусть надо вычислить , где f(x) непрерывная на [a,b] функция. Положим . Причем функцию наложим условие. должна быть непрерывна на промежутке 1) 2) 3) на Тогда справедлива формула (1) Т.к. по предположению подынтегральная функция непрерывна , то существует и соответствующие неопределенные интегралы слева и справа в (1) и можно воспользоваться основной формулой (*). Причем, если F(x)- первообразная функции f(x), то , то первообразная .
Замечание. В отличие от замены в неопределенном интеграле, здесь не надо возвращаться к первой переменной x. Т.к., если вычислим второй интеграл по t, представляют собой число, то тем самым вычислим и первый интеграл. Интегрирование по частям. Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры. Вычисление площадей. а) и непрерывна, тогда площадь криволинейной трапеции б) x=a, x=b и y=f(x), y=g(x); на [a,b] Замечание : в) Пусть кривая задана параметрическим уравнением. В данном случае мы не знаем явного задания кривой, поэтому при вычислении площади делаем замену, что бы свести к известным формулам. x(t)-убывает Пример(Вычислить площадь фигуры) Вычисление площади в полярной системе координат. Если линия, ограничивающая фигуру, задана в полярной системе координат, то в качестве основной фигуры принимает криволинейный сектор, то есть фигуру ограниченную и графиком Разобьем (а вместе с ним и весь сектор)на частичные сектора Каждый частичный сектор заменим круговым сектором. То есть будем считать, что на каждом из частичных промежутков функция изменится мало и приблизительно равна Тогда, площадь фигуры, состоит из круговых секторов, каждый из которых имеет площадь ,будет равна . Устремив и переходя к пределу, получаем
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (500)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |