Свойства интегрируемых функций.
Свойства: 1) Если f(x) интегрируема на [a,b], то , - производная константа Доказательство: Т.к. для любых точек выполняется , то и колебания функции на не превосходит колебаний f(x); Поэтому и если сумма справа стремится справа к 0, то и слева тоже стремится к нулю, что влечет за собой интегрируемость функции . 2) Если 2 функции f(x) и g(x) интегрируема на [a,b], то их сумма, разность и произведение также интегрируема. Доказательство(для произведения): Пусть , если функция интегрируема, она необходимо ограничена и рассмотрим разность Получим, что Тогда, т.к. любые точки из , то для колебания функции f*g обозначим будем иметь и т.к. f и g по отдельности интегрируемы, умножив это неравенство на и просуммировав получим ( ) f*g интегрируема 3) Если f(x) интегрируема на промежутке [a,b], то она интегрируема и в любой части этого промежутка. И наоборот если [a,b] разложим на части и в каждой части f(x) интегрируема, то она интегрируема и во всем [a,b]. Доказательство: Пусть f(x) интегрируема f(x) в [a,b]. Построим для [a,b] сумму , считая, что входят в состав точек деления. Аналогично сумма, для промежутка получится из составленной суммы, если из нее опустить ряд слагаемых(положительных). Ясно что эта сумма, для будет стремиться к 0, если вся сумма для [a,b] стремилась к 0. 4) Если изменить значения интегрируемой функции в конечном числе точек (равном k), то интегрируемость ее не нарушится Доказательство: Изменения коснутся не более чем k членов суммы. При этом значение самого интеграла не изменится. Это следует из того, что для обеих функций (исходной и измененной) точки в интегральной сумме можно выбирать так, что бы они не совпадали с теми точками, для которых их значения рознятся.
18 Свойства определенных интегралов (св.1-5). 1) Пусть интегрируема в [a,b], тогда будет интегрируема на [a,c] и [с,b] причем (свойство аддитивности о.и. относительно промежутка интегрирования) Доказательство: Рассмотрим разбиение [a,b] на части, причем точку с считаем точкой деления. Составим интегральную сумму , переходя к пределу при получим требуемое 2) Если интегрируема на [a,b], то 3) Если f(x) и g(x) интегрируема на [a,b], то (свойство аддитивности о.и. относительно подынтегральных функций) Доказательство: На основе интегральных сумм 4) Пусть f(x) интегрируема на [a,b] и на [a,b]. Тогда 5) Если f(x) и g(x) интегрируема на [a,b] и на [a,b], то и интеграл Доказательство: По предыдущим свойствам f(x) - g(x)
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (829)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |