Выведем правило умножения многозначного числа на однозначное в общем виде.

1. Записываем второе число под первым.

2. Умножаем цифры разряда единиц числа х на число у. Еслипроизведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и переходим к следующему разряду (десятков).

3. Если произведение цифр единиц числа х на число у большеили равно 10, то представляем его в виде 10q₁+с₀, где с₀ – однозначное число; записываем с₀ в разряд единиц ответа и запоминаем q₁ - перенос в следующий разряд.

4. Умножаем цифры разряда десятков на число у, прибавляемк полученному произведению число q₁ и повторяем процесс, описанный пп. 2 и 3.

5. Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.

Как известно, умножение числа х на число вида 10^k сводится к приписыванию к десятичной записи данного числа k нулей. Покажем это. Умножим число х=а_n×10ⁿ+а_n–1×10^n–1+…+а₁×10+а₀ на 10^k:

(а_n×10ⁿ+а_n–1×10^n–1+…+а₁×10+а₀)×10^k=а_n×10^n+k+а_n–1×10^n+k–1+…+а₀×10^k. Полученное выражение является суммой разрядных слагаемых числа , так как равно

a_n×10^n+k+а_n–1×10^n+k–1+…+а₀×10^k+0×10^k-1+0×10^k–2+…+0×10 +0.

Например,

347·10³=(3·10²+4·10+7)·10³=3·10⁵+4·10⁴+7·10³=3·10⁵+4·10⁴+7·10³+0·10²+ +0·10+0= =347000

Заметим еще, что умножение на число у×10^k , где у – однозначное число сводится к умножению на однозначное число у и на число 10^k . Например, 52×300=52×(3×10²)=(52×3)×10²=156×10²=15600.

Рассмотрим теперь алгоритм умножения многозначного числа на многозначное. Обратимся сначала к примеру, с которого начинали, т.е. к произведению 428×263. Представим число 263 в виде суммы 2×10²+6×10+3 и запишем произведение 428×(2×10² + 6×10 + 3). Оно, согласно дистрибутивности умножения относительно сложения, равно 428×(2×10²) + 428×(6×10) + 428×3. Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим: (428×2) ×10²+(428×6)×10+428×3. Видим, что умножение многозначного числа 428 на многозначное число 263 свелось к умножению многозначного числа 428 на однозначные числа 2,6 и 3, а также на степени 10.

Рассмотрим умножение многозначного числа на многозначное в общем виде.

Выясним сначала, как осуществляется деление на однозначное число. Если на однозначное число делят однозначное или двузначное (не превышающее 89), то используется таблица умножения однозначных чисел. Например, частным чисел 54 и 9 будет число 6, так как 9 × 6 = 54. Если же надо разделить 51 на 9, то находят ближайшее к нему меньшее число, которое делится на 9 - это число 45, и, следовательно, непол­ным частным при делении 51 на 9 будет число 5. Чтобы найти остаток, надо из 51 вычесть 45 : 51 - 45 = 6. Таким образом, 51 = 9×5 + 6, т.е. при делении 51 на 9 получается неполное частное 5 и остаток, равный 6. Записать это можно иначе, при помощи деления уголком:

Будем теперь делить трехзначное число на однозначное, например, 378 на 4. Разделить 378 на 4 - это значит найти такое неполное частное q и остаток r , что 378=4q+r , причем остаток r должен удовлетвори условию 0£r<b , а неполное частное q - условию 4q£ 378<4(q+1).

Определим, сколько цифр будет содержаться в записи числа q. Однозначным число q быть не может, так как тогда произведение 4q может быть максимально равно 36 и, значит, не будут выполняться условий сформулированные выше для r и q . Если число q двузначное, т.е. есть 10<q<100, то тогда 40<4q<400 и, следовательно, 40<378<400, что верно. Значит, частное чисел 378 и 4 - число двузначное.

Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 4 на 20, 30, 40 и т.д. Поскольку 4×90=360, а 4×100=400, и 360<378<400, то неполное частное заключено между числами90 и100, т.е. q=90+q_0. Но тогда должны выполняться неравенства: 4×(90+q₀)£ 378<4×(90q+q₀+1), откуда 360+4q₀£78<360+4(q₀+1) и 4q₀£18<4(q₀+1). Число q₀ (цифра единиц частного), удовлетво­ряющее последнему неравенству, можно найти подбором, воспользовавшись таблицей умножения. Получаем, что q₀=4 и, следовательно, неполное частное q=90+4=94. Остаток находится вычитание: 378–4×94=2.

Итак, при делении числа 378 на 4 получается неполное частное 94 и остаток 2: 378–4×94+2.

Описанный процесс является основой деления уголком:

Аналогично выполняется деление многозначного числа на многозначное. Разделим, например, 4316 на 52. Выполнить это деление - зна­чит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что 4316=52q+r , 0£r<52, а неполное частное должно удовлетворять неравенству 52q£ 4316<52(q+1).

Определим число цифр в частном q. Очевидно, частное заключено между числами 10 и 100 (т.е. q - двузначное число), так как 520<4316<5200. Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последова­тельно делитель 52 на 20, 30, 40, 50 и т.д. Поскольку 52×80=4160, а 52×90=4680 и 4160<4316<4680, то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т.е. q=80+q₀.

Но тогда должны выполняться неравенства:

52×(80+q₀)£ 4316< 52×(80+q₀ +1),

4160+52q₀ £ 4316<4160+52×(q₀+1),

52q₀ £156<52×(q₀+1).

Число q₀ (цифру единиц частного), удовлетворяющее последнему неравенству, можно найти подбором: 156=52×3, т.е. имеем случай, когда остаток равен 0. Следовательно, при делении 4316 на 52 получа­ется частное 83.

Приведенные рассуждения лежат в основе деления уголком:

Обобщением различных случаев деления целого неотрицательного числа а на натуральное число b является следующий алгоритм деления уголком.

1. Если а =b, то частное q = 1, остаток r = 0.

2. Если а>b и число разрядов в числах а и b одинаково, то частное q находим перебором, последовательно умножая b на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, так как а<10b. Этот перебор можно ускорить, выполнив деление с остатком цифр старших разрядов чисел а и b .

3. Если а>b и число разрядов в числе а больше, чем в числе b, то записываем делимое а и справа от него делитель b, который отделяем от а уголком и ведем поиск частного и остатка в такой последовательности:

а) Выделяем в числе а столько старших разрядов, сколько разрядов в числе b или, если необходимо, на один разряд больше, но так, чтобы они образовывали число d₁, больше или равное b . Перебором находим частное q₁ чисел d₁, и b, последовательно умножая b на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Записываем q₁ под уголком (ниже b).

б) Умножаем b на q₁, и записываем произведение под числом а так, чтобы младший разряд числа bq₁ был написан под младшим разрядом выделенного числа d₁.

в) Проводим черту под bq₁ и находим разность r₁ = d₁ - bq₁.

г) Записываем разность r₁, под числом bq₁ , приписываем справа к r₁ старший разряд из неиспользованных разрядов делимого а и сравни­ваем полученное число d₂ с числом b .

д) Если полученное число d₂ больше или равно b, то относительно него поступаем согласно п. 1 или п. 2. Частное q₂ записываем после q₁.

е) Если полученное число d₂ меньше b, то приписываем еще столько следующих разрядов, сколько необходимо, чтобы получить первое число d₃, большее или равное b. В этом случае записываем после q₁ то же число нулей. Затем относительно d₃поступаем согласно пп. 1, 2. Частное q₂ записываем после нулей. Если при использовании младшего разряда числа а окажется, что d₃ < b, то тогда частное чисел d₃ и b равно нулю, и этот нуль записывается последним разрядом в частном, а остаток r = d₃.