Билет 8. Алгоритмы действий над целыми числами в десятичной системе счисления; устные и письменные вычисления.

Содержание:

1. Алгоритм сложения.

2. Алгоритм вычитания.

3. Алгоритм умножения.

4. Алгоритм деления.

Алгоритм сложения

Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел, записывают в особую таблицу, называемую таблицей сложения однозначных чисел, и запоминают.

Естественно, смысл сложения сохраняется и для многозначных чисел, но практическое выполнение сложения происходит по особым правилам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя сложение столбиком.

Например,

+ 7238

Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические положения лежат в его основе.

Представим слагаемые 341 и 7238 в виде суммы степенейдесяти с коэффициентами: 341 + 7238 = (3·10² + 4·10 + 1) + (7·10³ + 2·10² + 3·10 + 8).

Раскроем скобки в полученном выражении, поменяем местами и сгруппируем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единиц десятки с десятками и т.д. Все эти преобразования можно выполи на основании соответствующих свойств сложения. Свойство ассоциативности разрешает записать выражение без скобок: 3·10² + 4 ·10 + 1 + 7·10³ + 2·10² + 3 ·10 + 8.

На основании свойства коммутативности поменяем местами слагаемые: 7·10³ + 3·10² + 2·10² + 4·10 + 3·10 + 1 + 8. Согласно свойству ассоциативности, произведем группировку: 7·10³ + (3·10² + 2·10²) + (4·10 + 3·10) + (1 + 8). Вынесем за скобки в первой выдела группе число 10², а во второй - 10. Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения:

7·10³ + (3 + 2) ·10² + (4 + 3) ·10 + (1 + 8).

Итак, сложение данных чисел 341 и 7238 свелось к сложению однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения: 7·10³ + 5·10² + 7·10 + 9. Полученное выражение есть десятичная запись числа 7579.

Видим, что в основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты:

- способ записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойства коммутативности и ассоциативности сложения;

- дистрибутивность умножения относительно сложения;

- таблица сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что в случае сложения чисел «с переходом через десяток» теоретические основы алгоритма сложения будут теми же. Рассмотрим, например, сумму 748 + 436.

Представим слагаемые в виде суммы степеней десяти с соответствующими коэффициентами: (7·10² + 4·10 + 8) + (4·10² + 3·10 +6). Воспользуемся свойствами сложения и дистрибутивностью умножения относительно сложения и преобразуем полученное выражение к такому виду: (7+4)·10²+(4+3)·10+(8+6). Видим, что в этом случае сложение данных чисел также свелось к сложению однозначных чисел, но сумма 7+4, 8+6 превышают 10 и поэтому последнее выражение не является десятичной записью числа. Необходимо сделать так, чтобы коэффициенты перед степенями 10 оказались меньше 10. Для этого выполним ряд преобразований. Сначала сумму 8+6 представим в виде 1·10 + 4: (7 + 4)·10² +(4+3)·10+(1·10 + 4).

Затем воспользуемся свойствами сложения и умножения и приведем полученное выражение к виду: (7+4)·10²+(4+3+1)·10+4. Суть последнего преобразования такова: десяток, который получился при сложении единиц, прибавим к десяткам данных чисел. И наконец, записав сумму 7+4 в виде 1·10+1, получаем: (1·10+1)·10²+8·10+4. Последнее выражение есть десятичная запись числа 1184. Следовательно, 748+436=1184.

Выведем алгоритм сложения многозначных чисел в общем виде.

Пусть даны числа: х=а_n×10ⁿ+а_n–1×10^n–1+…+а₁×10+а₀ и у=b_n×10ⁿ+b_n–1×10^n–1+…+b₁×10+b₀, т.е. рассмотрим случай, когда количество цифр в записи чисел х и у одинаково, х+у=(а_n×10ⁿ+а_n–1×10^n–1+…+а₁×10+а₀)+(b_n×10ⁿ+ +b_n–1×10^n–1+…+b₁×10+b₀)=(а_n+b_n)×10ⁿ+(а_n–1+b_n–1)×10^n–1+…(а₀+b₀) - преобразования выполнены на основе свойств ассоциативности и коммутативности сложения, а также дистрибутивности умножения относительно сложения. Сумму (а_n+b_n)×10ⁿ+(а_n–1+b_n–1)×10^n–1+…(а₀+b₀), вообще говоря, нельзя рассматривать как десятичную запись числа х+у, так как коэффициенты перед степенями 10 могут быть больше 9. Лишь в случае, когда все суммы а_k+b_k, не превосходят 9, операцию сложения можно считать законченной. В противном случае выбираем наименьшее k, для которого а_k+b_k³10. Если а_k+b_k³10, то из того, что 0£а_k£9 и 0£b_k£ 9, следует неравенство 0£ а_k+b_k £18 и поэтому а_k+b_k можно представить в виде а_k+b_k=10+с_k, где 0£с_k£9. Но тогда (а_k+b_k)·10^k=(10+с_k)·10^k=10^k+1+с_k×10^k. В силу свойств сложения и умножения в (а_n+b_n)×10ⁿ+(а_n–1+b_n–1)×10^n–1+…(а₀+b₀) слагаемые (а_k+1+b _k+1)×10^k++(а_k+b_k)×10^k могут быть заменены на (а_k+1+b_k+1+1)×10^{k +1}+с_k×10^k. После этого рассматриваем коэффициенты а_n+b_n, а_n–1+b_n–1,+…а_k+1+b_k+1+1, выбираем наименьшее s, при котором коэффициент больше 9, и повторяем описанную процедуру. Через n шагов придем к выражению вида: х+у=(с_п+10)×10ⁿ+…+с₀, где с_п¹0, или х+у=10^{n +1}+с_п×10ⁿ+…+с_0, и где для всех n выполняется равенство 0£с_п<10. Тем самым получена десятичная запись числа х+у.

В случае когда десятичные записи слагаемых имеют разное количество цифр, надо приписать к числу, имеющему меньшее количество цифр, несколько нулей впереди, уравняв количество цифр в обоих слагаемых. После этого применяется описанный выше процесс сложения.

В общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления, формулируют так:

1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответст­вующие разряды находилось друг под другом.

2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков).

3. Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляют ее в виде а₀+b₀=1·10+с₀, где с₀ - однозначное число; записываютс₀, в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткампервого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.

4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняем сложение 1+0=1.

Замечание. В этом алгоритме (как и в некоторых других) для краткости употребляется термин «цифра» вместо «однозначное число, изображаемое цифрой».

Алгоритм вычитания

Вычитание однозначного числа b из однозначного или двузначного числа а, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа с, что b + с = а, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел.

Если же числа а и b многозначные и b < а, то смысл действия вычи­тания остается тем же, что и для вычитания в пределах 20, но техника нахождения разности становится иной: разность многозначных чисел чаще всего находят, производя вычисления столбиком, по определен­ному алгоритму. Выясним, каким образом возникает это алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Рассмотрим разность чисел 485 и 231. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим данную разность в таком виде: 485-231=(4·10²+8·10+5)-(2·10²+3·10+1). Чтобы вычесть из числа 4·10²+8·10+5 сумму 2·10²+3·10+1, доста­точно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда:

(4·10²+8·10+5)-(2·10²+3·10+1)= (4·10²+8·10+5)-2·10^2-3·10-1.

Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-либо одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число 2·10² вычтем из слагаемого 4·10², число 3·10 - из слагаемого 8·10, а число 1 - из слагаемого 5, тогда: (4·10²+8·10+5)-2·10^2-3·10-1 = (4·10² - 2·10²)+ (8·10 - 3·10)+(5-1).

Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вычита­ния и вынесем за скобки 10² и 10. Тогда выражение будет иметь вид: (4-2)·10²+(8-3)·10+(5-1). Видим, что вычитание трехзначного числа 231 из трехзначного числа 485 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 4 - 2, 8 – 3 и 5 - 1 находим по таблице сложения и получаем выражение: 2·10²+5·10+4, которое является записью числа 254 в десятичной системе счисления. Таким образом, 485 - 231 = 254. Выражение (4-2)·10²+(8-3)·10+(5-1) задает правило вычитания, которое обычно выполняется столбиком:

_ 485

231

Видим, что вычитание многозначного числа из многозначного основывается на:

· способе записи числа в десятичной системе счисления;

· правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа;

· свойстве дистрибутивности умножения относительно вычитания;

· таблице сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что если в каком-нибудь разряде уменьшаемого стоит однозначное число, меньше числа в том же разряде вычитаемого, то в основе вычитания лежат те же теоретические факты и таблица сложения однозначных чисел. Найдем,например, разность чисел 760 - 326. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим эту разность в таком виде: 760 - 326 =(7·10²+6·10+0) - (3·10²+2·10+6).

Поскольку из числа 0 нельзя вычесть 6, то выполнить вычитание аналогичное тому, как было сделано в первом случае, невозможно. Поэтому возьмем из числа 760 один десяток и представим его в 10 единиц - десятичная система счисления позволяет это сделать тогда будем иметь выражение: (7·10²+5·10+10)-(3·10²+2·10+6). Если теперь воспользоваться правилами вычитания суммы из числа и числа из суммы, а также дистрибутивностью умножения относительно вычитания, то получим выражение (7-3)·10²+(5-2)·10+(10-6) и 4·10² + 3·10 + 4. Последняя сумма есть запись числа 434 в десятичной системе счисления. Значит, 760 - 326 = 434.

Рассмотрим процесс вычитания многозначного числа из многозначного в общем виде.