Включение rL-цепи на постоянное напряжение

Связь мгновенных значений напряжений и токов на элементах

Электрической цепи

Резистор (идеальное активное сопротивление)	Катушка индуктивности (идеальная индуктивность)	Конденсатор (идеальная емкость)
	; при наличии магнитной связи с катушкой, обтекаемой током ,	;

Законы коммутации

Название закона	Формулировка закона
Первый закон коммутации (закон сохранения потокосцепления)	Магнитный поток, сцепленный с катушками индуктивности контура, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .
Второй закон коммутации (закон сохранения заряда)	Электрический заряд на конденсаторах, присоединенных к любому узлу, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .

Доказать законы коммутации можно от противного: если допустить обратное, то получаются бесконечно большие значения и , что приводит к нарушению законов Кирхгофа.

На практике, за исключением особых случаев (некорректные коммутации), допустимо использование указанных законов в другой формулировке, а именно:

первый закон коммутации – в ветви с катушкой индуктивности ток в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

второй закон коммутации – напряжение на конденсаторе в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

Включение rL-цепи на постоянное напряжение

Дифференциальное уравнение при включении rL-цепи (рис. 14.5) на постоянное напряжение (к источнику ЭДС E = U) неоднородное

и имеет решение в виде суммы установившейся и свободной составляющих

Установившаяся составляющая тока .

Однородное уравнение совпадает с ( 14.4), и его решение - с ( 14.8). Ток в цепи

где t=L/r.

Постоянная интегрирования А определяется с учетом известного начального условия. До коммутации тока в цепи не было, поэтому согласно первому закону коммутации при t=0

Напряжение на индуктивности

Поскольку до включения напряжение на индуктивном элементе было равно нулю, а момент коммутации , то переходное и свободное напряжения на индуктивности изменяются скачком. Кривые изменения приведены на рис. 14.6. Как и следовало ожидать, они показывают, что ток в цепи не устанавливается мгновенно и что требуется известное время (теоретически бесконечное) до наступления установившегося режима со значением тока U/r. Ток i возрастает тем медленнее, чем больше постоянная времени цепи t, т. е. чем медленнее затухает свободный ток.

Энергия, получаемая от источника, идет частично на увеличение энергии магнитного поля катушки, а частично переходит в тепло.

Рис. 14.5

Рис. 14.6

 

 

2) Включение RC цепи под постоянное напряжение. Энергетические процессы при зарядке конденсатора.

Включение rC-цепи на постоянное напряжения
Рассмотрим переходный процесс при включении rC-цепи на постоянное напряжение U (рис. 14.13).

Уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа, или с учетом ( 14.19) . Соответствующее однородное уравнение, т. е. уравнение для свободного процесса, совпадает с ( 14.20). Поэтому свободное напряжение на емкости

Переходное напряжение на емкости

Так как конденсатор не был заряжен, т. е. при t = 0 напряжение , то А = - U и

Для тока получим

Начальное значение тока i(0+) может быть получено и непосредственно.

Рис. 14.13

Так как , то все напряжение источника U при t = 0 равно напряжению .

Кривые изменения (рис. 14.14) показывают, что напряжение на емкости и ток в цепи не устанавливаются мгновенно. Напряжение возрастает, и ток спадает тем медленнее, чем больше постоянная времени цепи t, т. е. чем медленнее затухает свободное напряжение .

Отметим аналогию законов изменения тока в rL-цепи и напряжения в rC-цепи при включении их на постоянное напряжение. Она следует из сравнения равенств ( 14.14) и (14.25) и кривых на рис. 14.6 и 14.14. Аналогично также изменение величин и i в тех же цепях. Аналогия распространяется и на случаи включения rL и rС-цепей на синусоидальное напряжение.

К исследованию процессов зарядки и разрядки конденсатора через резистор сводятся многие важные практические задачи, возникающие при расчете переходных процессов в цепях автоматики, телемеханики, электроники и связи.

Как будет показано ниже, энергия, переходящая в тепло при включении rC-цепи, не зависит от значения r.

Рис. 14.14

 

 

Заряд конденсатора

Для того чтобы зарядить конденсатор, необходимо включить его в цепь постоянного тока. На рис. 1 показана схема заряда конденсатора. Конденсатор С присоединен к зажимам генератора. При помощи ключа можно замкнуть или разомкнуть цепь. Рассмотрим подробно процесс заряда конденсатора.

Генератор обладает внутренним сопротивлением. При замыкании ключа конденсатор зарядится до напряжения между обкладками, равного э. д. с. генератора: Uс = Е. При этом обкладка, соединенная с положительным зажимом генератора, получает положительный заряд (+q), а вторая обкладка получает равный по величине отрицательный заряд (-q). Величина заряда qпрямо пропорциональна емкости конденсатора С и напряжению на его обкладках: q = CUc

 

Pис. 1. Схема заряда конденсатора

Для того чтобы обкладки конденсатора зарядились, необходимо, чтобы одна из них приобрела, а другая потеряла некоторое количество электронов. Перенос электронов от одной обкладки к другой совершается по внешней цепи электродвижущей силой генератора, а сам процесс перемещения зарядов по цепи есть не что иное, как электрический ток, называемый зарядным емкостным током Iзар.

Зарядный ток в цени протекает обычно тысячные доли секунды до тех пор, пока напряжение на конденсаторе достигнет величины, равной э. д. с. генератора. График нарастания напряжения на обкладках конденсатора в процессе его заряда представлен на рис. 2,а, из которого видно, что напряжение Uc плавно увеличивается, сначала быстро, а затем все медленнее, пока не станет равным э. д. с. генератора Е. После этого напряжение на конденсаторе остается неизменным.

Рис. 2. Графики напряжения и тока при заряде конденсатора

Пока конденсатор заряжается, по цепи проходит зарядный ток. График зарядного тока показан на рис. 2,б. В начальный момент зарядный ток имеет наибольшую величину, потому что напряжение на конденсаторе еще равно нулю, и по закону Ома ioзар = E/Ri, так как вся э. д. с. генератора приложена к сопротивлению Ri.

По мере того как конденсатор заряжается, т. е. возрастает напряженно на нем, для зарядного тока уменьшается. Когда напряженно па конденсаторе уже имеется, падение напряжения на сопротивление будет равно разности между э. д. с. генератора и напряжением на конденсаторе, т. е. равно Е - U с. Поэтому iзар = (E-Uс)/Ri

Отсюда видно, что с увеличением Uс уменьшается iзар и при Uс = E зарядный ток становится равным нулю.

Про закон Ома подробнее смотрите здесь: закон Ома для участка цепи

Продолжительность процесса заряда конденсатора зависит от двух величии:

1) от внутреннего сопротивления генератора Ri,

2) от емкости конденсатора С.

На рис. 2 показаны графики нарядных токов для конденсатора емкостью 10 мкф: кривая 1 соответствует процессу заряда от генератора с э. д. с. Е = 100 В и с внутренним сопротивлением Ri = 10 Ом, кривая 2 соответствует процессу заряда от генератора с такой же э. д. с, но с меньшим внутренним сопротивлением: Ri = 5 Ом.

Из сравнения этих кривых видно, что при меньшем внутреннем сопротивлении генератора сила нарядного тока в начальный момент больше, и поэтому процесс заряда происходит быстрее.

 

Рис. 2. Графики зарядных токов при разных сопротивлениях

Рис. 3. Графики зарядных токов при разных емкостях

На рис. 3 дается сравнение графиков зарядных токов при заряде от одного и того же генератора с э. д. с. Е = 100 В и внутренним сопротивлением Ri = 10 ом двух конденсаторов разной емкости: 10 мкф (кривая 1) и 20 мкф (кривая 2).

Величина начального зарядного тока ioзар = Е/Ri = 100/10 = 10 А одинакова для обоих конденсаторов, по так как конденсатор большей емкости накапливает большее количество электричества, то зарядный его ток должен проходить дольше, и процесс заряда получается более длительным.

Разряд конденсатора

Отключим заряженный конденсатор от генератора и присоединим к его обкладкам сопротивление.

На обкладках конденсатора имеется напряжение Uс, поэтому в замкнутой электрической цепи потечет ток, называемый разрядным емкостным током iразр.

Ток идет от положительной обкладки конденсатора через сопротивление к отрицательной обкладке. Это соответствует переходу избыточных электронов с отрицательной обкладки на положительную, где их недостает. Процесс рам ряда происходит до тех пор, пока потенциалы обеих обкладок не сравняются, т. е. разность потенциалов между ними станет равном нулю:Uc=0.

На рис. 4, а показан график уменьшения напряжения на конденсаторе при разряде от величины Ucо =100 В до нуля, причем напряжение уменьшается сначала быстро, а затем медленнее.

На рис. 4,б показан график изменения разрядного тока. Сила разрядного тока зависит от величины сопротивления R и по закону Ома iразр = Uc/R

Рис. 4. Графики напряжения и токов при разряде конденсатора

В начальный момент, когда напряжение па обкладках конденсатора наибольшее, сила разрядного тока также наибольшая, а с уменьшением Uc в процессе разряда уменьшается и разрядный ток. При Uc=0 разрядный ток прекращается.

Продолжительность разряда зависит:

1) от емкости конденсатора С

2) от величины сопротивления R, на которое конденсатор разряжается.

Чем больше сопротивление R, тем медленнее будет происходить разряд. Это объясняется тем, что при большом сопротивлении сила разрядного тока невелика и величина заряда на обкладках конденсатора уменьшается медленно.

Это можно показать на графиках разрядного тока одного и того же конденсатора, имеющего емкость 10 мкф и заряженного до напряжения 100 В, при двух разных величинах сопротивления (рис. 5): кривая 1 — при R = 40 Ом, iоразр = Ucо/R = 100/40 = 2,5 А и кривая 2 - при 20 Ом iоразр = 100/20 = 5 А.

 

Рис. 5. Графики разрядных токов при разных сопротивлениях

Разряд происходит медленнее также тогда, когда емкость конденсатора велика. Получается это потому, что при большей емкости на обкладках конденсатора имеется большее количество электричества (больший заряд) и для стекания заряда потребуется больший промежуток времени. Это наглядно показывают графики разрядных токов для двух конденсаторов раиной емкости, заряженных до одного и того же напряжения 100 В и разряжающихся на сопротивление R =40 Ом (рис. 6: кривая 1 — для конденсатора емкостью 10 мкф и кривая 2 — для конденсатора емкостью 20 мкф).

 

Рис. 6. Графики разрядных токов при разных емкостях

Из рассмотренных процессов можно сделать вывод, что в цепи с конденсатором ток проходит только в моменты заряда и разряда, когда напряжение на обкладках меняется.

Объясняется это тем, что при изменении напряжения изменяется величина заряда на обкладках, а для этого требуется перемещение зарядов по цепи, т. е. по цепи должен проходить электрический ток. Заряженный конденсатор не пропускает постоянный ток, так как диэлектрик между его обкладками размыкает цепь.

Энергия конденсатора

В процессе заряда конденсатор накапливает энергию, получая ее от генератора. При разряде конденсатора вся энергия электрического поля переходит в тепловую энергию, т. е. идет на нагрев сопротивления, через которое разряжается конденсатор. Чем больше емкость конденсатора и напряжение на его обкладках, тем больше будет энергия электрического поля конденсатора. Величина энергии, которой обладает конденсатор емкостью С, заряженный до напряжения U, равна: W = Wс = СU²/2