Хотя и без решения системы часть решений уже можно определить.

 

    

                       

 

Рассмотрим частный случай уравнения (2) при m=1.

 

 ,при m≥1.

 

Т.к. K чётное число, тогда K=8, 24, 48, 80, 120, 168, 224, 288, 360 ….

Получится возрастающий ряд K.

Этому ряду K соответствует ряд разностей:

 

У-Х=2, 4, 6, 8, 10, 12 …. при положительных значениях радикала и

У-Х=-4, -6, -8, -10, -12 …. при отрицательных значениях радикала.

 

Рассмотрим четыре примера, взяв соответственно:

 

1) У-Х=2        K=8

2) У-Х=4        K=24

3) У-Х=6        K=48

4) У-Х=8        K=80

1) У=Х+2, подставим в уравнение (1) при K=8

Х₁=1      Х₂=2      Х₃=-2

У₁=3      У₂=4      У₃=0

K=8       K=8       K=8

2) У=Х+4

Х=1

У=5

K=24

3) У=Х+6

Х=1

У=7

K=48

4) У=Х+8

Х₁=1      Х₂=4      Х₃=-4

У₁=9      У₂=12    У₃=4

K=80     K=80     K=80

 

Вариант II.

 

                           (3)

     

 

Подставляем в (3), получаем

 

 , m≥1.

 

При m=1 K примет значения –7, 1, 17, 41, 73, 113 ….;

Как и в предыдущем варианте получится возрастающий ряд K, и ему соответствует ряд разностей:

 

У-Х=-1, 1, 3, 5, 7, 9….; У-Х=-3, -5, -7, -9….

 

Вариант III.

 

 

После подстановки ₁, ₂, окончательно получим

 

, m≥1.

 

При m=1 K примет значения –4, 8, 28, 56 ….

Этому ряду K соответствует ряд разностей:

У-Х=0, 2, 4, 6….; У-Х=-4, -6, -8, -10….

Вариант IV.

 

 

 , m≥1.

 

При m=1 K примет значения 3, 15, 35, 63, 99 ….

Этому ряду K соответствует ряд разностей:

У-Х=1, 3, 5, 7, 9 ….; У-Х=-3, -5, -7, -9, -11….

 

Уравнения У²=Х³-Х, У²=Х³-Х+1, У²=Х³+аХ+В и прочие уравнения эллиптических кривых познавательного интереса для данного алгоритма не представляют.

Повторяясь, скажу, важно лишь количество неизвестных. Поэтому распишу лишь первое из них.

- I У - чётное число, Х - нечётное число;

-   II У - чётное число, Х - чётное число, всегда У > Х, и как следствие ₁> ₂.

Вариант I.

 

Т.к.

                    

Тогда

 

 

После подстановки

 

 

Вариант II.

Сразу пишу ответ

 

И после всех преобразований и подстановок

 

 

Работа при исследовании уравнений данным алгоритмом достаточно монотонная.

Исследование уравнения проведено, кстати, не до конца.

Не рассмотрена ситуация У < Х.

 

Иррациональные корни уравнения

 

.

 

Известно, что данное уравнение имеет иррациональные корни. Но для решения, предположим, что уравнение увидели впервые. И тогда начало решения будет традиционным для данного алгоритма.

Рассмотрим 2 варианта:

- I Х - чётное число, У - нечётное число;

-   II Х - нечётное число, У - чётное число.

Всегда Х > У

Вариант I.

Функциональное уравнение общего вида будет:

 

, где  ,      (1)

Преобразования изображу подробно

 

                                   (2)

 

В уравнении (1) ,

Тогда ,

Значения  и  подставим в формулу (2)

 

 

Исходное уравнение

 

 

 

запишем в виде

 

 

Тогда

 

До конца не преобразуя, оставляю решение в виде системы

 

(3)

         

 

Вариант II.

 

, где  ,      (4)

 

Преобразования без комментариев.

 

                                      (5)

 

В уравнении (4)

 

Тогда ,

Значения  и  подставим в формулу (5)

И сразу пишу систему решений

 

                  

(6)

 

Итого: иррациональными решениями уравнения

 

 

являются две системы уравнений (3) и (6).

Отрицательные значения радикалов не рассматриваю.