Функция DEplot из пакета DEtools

Специально для решения и визуализации решений дифференциальных уравнений и систем с дифференциальными уравнениями служит инструментальный пакет DEtools. В него входит ряд функций для построения наиболее сложных и изысканных графиков решения дифференциальных уравнений. Основной из этих функций является функция DEplot. '

Рис. 13.49. Представление решения системы дифференциальных уравнений в виде фазового портрета.

Функция DEplot может записываться в нескольких формах:

DEplot(deqns, vars, trange, eqns) DEplot(deqns, vars, trange, inits, eqns) DEplot(deqns, vars, trange, yrange, xrange, eqns) DEplot(deqns, vars, trange, inits, xrange, yrange, eqns)

Здесь: deqns — лист (множество) с системой дифференциальных уравнении первого порядка или одиночное уравнение любого порядка, vars — зависимая переменная (лист) либо множество зависимых переменных, trange — область изменения независимой переменной t, inits — начальные условия для решения, yrange — область изменения для первой зависимой переменной, xrange — область изменения для второй зависимой переменной, eqns — опция, записываемая в виде keyword=value. Замена имен переменных другими в данном случае не допустима.

Эта функция обеспечивает численное решение дифференциальных уравнений или их систем при одной независимой переменной t и строит графики решения. Для автономных систем эти графики строятся в виде векторного поля направлений, а для неавтономных систем только в виде кривых решения. По умолчанию реализуется метод Рунге-Кутта 4-го порядка, что соответствует опции method=classi-cal[rk4]. Возможна спецификация и других методов (см. главу 10). В каталоге EXAMPLE системы Maple V R4 можно найти файл deplot.mws с многочисленными примерами применения функции DEplot.

С функцией DEplot могут использоваться следующие опции о:

arrows = type — тип стрелки векторного поля ('SMALL',

'MEDIUM', 'LARGE', 'LINE' или 'NONE');

colour, color = arrowcolour — цвет стрелок (задается 7 способами);

dirgrid = [integer,integer] — число линий сетки (о умолчанию 20(20);

iterations = integer — количество итераций, представленное целым

числом;

linecolour, linecolor = line_info— цвет линии (задается 5 способами);

method='rk4' — задает метод решени 'euler', 'backeuler',

'impeuler' и 'rk4';

obsrange = TRUE,FALSE — задает (при TRUE) прерывание вычислений,

если кривая решения выходит из области обзора;

scene = [name,name] — задает имена зависимых переменных, для

которых строится график;

stepsize = h — шаг решения, по умолчанию равный

abs((b-a))/20, и представленный вещественным

значением.

На рис. 13.50 показано решение системы дифференциальных уравнений

х- (t)=x(t)*(l-y(t)) у' (t)=0,3*y(t)*(x(t)-l),

описывающих модель Лотка-Вольтерра при заданных в документе изменениях t, x(t) и y(t). Решение представлено в виде векторного поля, стрелки которого становятся касательными к кривым решения. Обратите внимание на функциональную закраску стрелок векторного поля.

Рис. 13.50. Решение системы дифференциальных уравнении Лотка-Вольтерра с выводом в виде графика векторного поля.

Еще интересней вариант графиков, представленный на рис. 13.51. Здесь помимо векторного поля построены фазовые портреты решения с использованием функциональной закраски их линий. Фазовые портреты построены для двух наборов начальных условий: х(0)= у(0)=1.2 и х(0)=1 и у(0)=0.7.

Следует отметить, что функция DEplot может обращаться к другим функциям пакета DEtools для обеспечения специальных графических возможностей, таких как построение векторного поля или фазового портрета решения.

Рис. 13.51. Пример построения двух фазовых портретов на фоне векторного поля.