Визуализация корней случайных полиномов

Наряду с традиционной для математических и статистических компьютерных систем возможностью генерации случайных чисел, Maple V предоставляет довольно «экзотическую» возможность генерации случайных полиномов с высокой максимальной степенью. Для этого используется функция:

ranpoly(var,o)

Она возвращает случайный полином переменной var, причем максимальная степень полинома птах может указываться опцией о вида degree=nmax.

Приведем пример генерации случайного полинома с максимальной степенью 50:

Поскольку полученный полином случайный, то вам не удастся повторить его генерацию — каждый запуск randpoly дает новый полином. Так что важно понять в принципе осуществляемые далее действия. Прежде всего найдем список корней полинома S:

В этом примере обратите внимание на число нулей в начале списка — их надо исключать из дальнейших вычислений. Это, и получение корней в виде обычных

комплексных чисел, делается с помощью функции allvalues, в которой в качестве

параметра надо использовать S[5]. Ниже показано создание списка SA корней полученного выше полинома:

>SA:=[S[1],S[2],S[3],S[4],allvalues(S[5])];

ЗА := [0, 0, 0, 0, -1.010550161 - .1475724933 I,

-1.010550161 + .1475724933 I, -.9465649833,

-.9003773676 - .5534775311 , -.9003773676 + .5534775311 ,

-.8562982808 - .3789548397 , -.8562982808 + .3789548397 ,

-.7320300364 - .6478720727 , -.7320300364 + .6478720727 ,

-.5900687567 - .7989860949 , -.5900687567 + .7989860949 .

-.3987161272-.8962702262 ,-.3987161272 + .8962702262 ,

-.3642724499-.9481481280 ,-.3642724499 + .9481481280 ,

-.02839255705 - .9363196855 I, -.02839255705 + .9363196855 I, .05710128939 -1.018443049 I, .05710128939 + 1.018443049 I, .2868399179-.9808645873 , .2868399179 + .9808645873 , .4149289767-.8396518590 , .4149289767 + .8396518590 , .6775641178-.8099749786 , .6775641178 + .8099749786 , .6864940076 - .6957907203 , .6864940076 + .6957907203 , .8450577013-.4872509104 , .8450577013 + .4872509104 , .9089753119-.3749374155 , .9089753119 + .3749374155 , .9157897832, 1.019132014 - .2114677899I, 1.019132014+.21146778991]

Напоминаем, что эти корни также являются случайными. Теперь можно построить комплексные корни полученного случайного полинома в виде точек на комплексной плоскости:

>with(plots):complexplot(SA,x~1.2..1.2,style=point);

Этот график показан на рис. 13.69.

Рис. 13.69. Расположение корней случайного полинома на комплексной плоскости.

Можно заметить любопытную закономерность — точки, представляющие корни случайного полинома укладываются вблизи окружности единичного радиуса с центром в начале координат. Является ли это действительно свойством случайных полиномов или дело в специфике их генерации средствами Maple V — для большинства из нас неясно. Однако этот пример, приводимый в большинстве книг по Maple V, показывает, что порою вычисления могут давать довольно неожидан-

ные результаты. Кстати говоря, аналитически можно вычислять корни полинома с максимальной степенью не более четырех.

Приведенные примеры дают весьма наглядное представление о больших возможностях визуализации решений самых различных задач в системе Maple V. Можно значительно повысить ее, эффектно используя описанные ранее приемы анимации (оживления) изображений. В целом надо отметить, что графические возможности Maple V дают новый уровень качества графики современных математических систем, о котором с десяток лет тому назад можно было только мечтать.