Вольтамперная характеристика идеального p - n перехода.

Вольтамперные характеристики идеального гомогенного резкого ступенчатого p⁺-n перехода могут быть получены на основе следующих приближений:

а) одномерное приближение, то есть перенос заряда осуществляется в направлении, перпендикулярном плоскости p-n перехода;

б) обедненный слой имеет резкие границы, то есть контактная разность потенциалов и все приложенное напряжение уравновешены двойным заряженным слоем с резкими границами, вне которых полупроводник считается нейтральным;

в) концентрации легирующих примесей в n- и p-областях существенно превышают равновесные концентрации электронов и дырок собственного полупроводника; при этом доноры и акцепторы полностью ионизованы;

г) уровень инжекции низкий, что позволяет при решении уравнения для тока через диод использовать диффузионное приближение;

д) в обедненной области справедливы распределения Больцмана;

е) в обедненной области нет токов генерации и рекомбинации; протекающие через обедненный слой электронный и дырочный токи постоянны.

Приближения Больцмана при тепловом равновесии:

,                                                 (28)

,                                                (29)

где .

Так как в состоянии теплового равновесия справедливы выражения (28) и (29), то . Когда же к p-n переходу прикладывают напряжение, то по обеим сторонам p-n перехода происходит изменение концентрации не основных носителей и .

Определим теперь квазиуровни Ферми для электронов φ_n и для дырок φ_p.

                                                                   (30)

                                                                  (31)

Из соотношений (30) и (31) получим

,                                                                        (32)

.                                                                       (33)

Откуда

.                                                              (34)

При прямом смещении p-n перехода  и , а при обратном смещении p-n перехода  и .

Из уравнений для плотностей тока электронов

,                                                                  (35)

и дырок

,                                                                             (36)

соотношений (30) и (31) и учитывая, что , получим следующее выражение для плотности электронного тока

,        (37)

и, аналогично, для плотности дырочного тока

.                                                           (38)

Следовательно, плотности электронного и дырочного токов прямо пропорциональны градиентам квазиуровней Ферми соответственно для электронов и дырок. В состоянии теплового равновесия  и .

Изменения квазиуровней Ферми для электронов и дырок с расстоянием определяются определяются распределением концентраций электронов и дырок в соответствии с выражениями (32) и (33). В n- и p-областях p-n перехода разность концентраций электронов составляет несколько порядков, а плотность электронного тока j_n практически не изменяется. Поэтому в границах обедненной области потенциал φ_n также должен быть почти постоянен. Разность электростатических потенциалов в p-n переходе определяется величиной

                                                                      (39)

Из (34) и (39) получим концентрацию электронов на границе обедненного слоя в p-области p-n перехода (при x=-l_p).

,                                             (40)

где n_p0 – равновесная концентрация электронов в p-области p-n перехода.

Подобным образом получим концентрацию дырок p_n в n-области на границе обедненного слоя p-n перехода (при x=l_n).

.                                                         (41)

где p_n0 – равновесная концентрация дырок на границе в n-области p-n перехода.

Выражения (40) и (41) – основные граничные условия при вычислении вольтамперной характеристики идеального p-n перехода.

В стационарном состоянии уравнения непрерывности можно записать в следующем виде.

,                                   (42)

.                                 (43)

В этих уравнениях W означает результирующую скорость рекомбинации. Поскольку в первом приближении соблюдается зарядовая нейтральность, то n_n-n_n0=p_n-p_n0. Умножив уравнение 42 на  и уравнение (43) на  и учитывая соотношение Эйнштейна , получим

.                                (44)

где  - коэффициент амбиполярной диффузии,  - амбиполярное время жизни.

При , то есть при малом уровне инжекции уравнение (44) упрощается:

.                                         (45)

В уравнении (45) отсутствует член , так как при низком уровне инжекции он того же порядка малости, что и члены, которыми пренебрегли. В нейтральной области, где напряженность электрического поля равна нулю, уравнение (44) упрощается и можно записать его в виде

.                                               (46)

Решение уравнения (46) с граничными условиями задаваемыми (41) при условии, что  имеет вид

,                                                   (47)

где  диффузионная длина дырок.

На границе обедненного слоя при x=l_n плотность дырочного тока будет равна

.                                     (48)

Рассматривая р-область p-n перехода, запишем аналогично для плотности тока электронов.

.                                           (49)

Полная плотность тока через p-n переход равна сумме плотностей электронного и дырочного токов.

,                                                (50)

где  - плотность тока насыщения, D_p – коэффициент диффузии дырок, D_n – коэффициент диффузии электронов, L_p – диффузионная длина дырок, L_n – диффузионная длина электронов.

ВАХ идеального p-n перехода в линейном и в полулогарифмическом (по оси «y») масштабах в относительных единицах представлена на рис.3.

Выражение для плотности тока насыщения в соотношении (50) можно переписать следующим образом.

.                                               (51)