Температурная зависимость обратного тока полупроводникового диода

Соотношение (50), описывающее ВАХ идеального p-n перехода называют формулой Шокли. При приложении к p-n переходу положительного напряжения  наклон ВАХ в полулогарифмическом масштабе  постоянен. При T=300 К для увеличения плотности тока в 10 раз требуется увеличить напряжение на p-n переходе на ≈59.2 мВ ( ). При приложении же к p-n переходу отрицательного напряжения  плотность обратного тока J_R через него становится постоянной и равной по модулю плотности тока насыщения J_R=-J_S (рис.3).

Рассмотрим теперь влияние температуры на плотность обратного тока идеального p-n перехода, то есть тока насыщения. Для простоты ограничимся рассмотрением асимметричного p⁺-n перехода, (N_A>>N_D). При этом

,                               (52)

где  - эффективные плотности состояний соответственно в зоне проводимости и в валентной зоне.

Учитывая, что ~ , выделим зависящую от температуры часть плотности тока насыщения

,                                                  (53)

где C=const.

Степенной член  по сравнению с экспоненциальным членом  слабо зависит от температуры. При обратном смещении, когда , модуль обратного тока  будет увеличиваться с температурой примерно по экспоненте.

Прологарифмировав обе части уравнения (53) получим линейную зависимость логарифма плотности обратного тока от обратной температуры.

.        (54)

Наклон зависимости  будет определяться шириной запрещенной зоны E_g.

Из уравнения (54) можно получить ширину запрещенной зоны полупроводника в Дж:

.              (55)

Сплошная кривая 1 (Ge) на рис.4 представляет собой зависимость  в координатах Аррениуса ,  для идеального p-n перехода в германии (I_S0 – плотность тока насыщения при температуре 25 °C).

Рассмотрим теперь ток термогенерации при обратном смещении p-n перехода. Так как при обратном смещении будут уменьшаться концентрации носителей заряда в обедненном слое (pn<<n_i²), то скорость термогенерации электронно-дырочных пар согласно теории Шокли-Рида-Холла при условиях p<n_i и n<n_i составит

,                                     (56)

где E_i – энергия середины запрещенной зоны полупроводника, E_t – энергия уровня генерации-рекомбинации, σ_n – сечение захвата электрона, σ_p – сечение захвата дырки, v_Th – тепловая скорость носителей заряда, N_t – плотность центров генерации-рекомбинации, τ_g – эффективное время жизни.

Плотность тока термогенерации электронно-дырочных пар в области пространственного заряда полупроводникового диода будет равна.

,                                           (57)

где W – толщина слоя ОПЗ.

Полный обратный ток в асимметричном p⁺-n переходе (при p_n0>>n_p0 и ) приближенно можно представить суммой диффузионного тока в нейтральной области и тока термогенерации в ОПЗ.

.                                                 (58)

При неизменной температуре плотность тока J_TG пропорциональна толщине ОПЗ W, которая зависит от приложенного к p⁺-n переходу обратного напряжения U_R. Для резкого p⁺-n перехода плотность тока термогенерации пропорциональна корню квадратному из суммы контактной разности потенциалов и обратного напряжения.

.             (59)

В полупроводниках с большим значением собственной концентрации, например, в германии, при комнатной температуре преобладает диффузионный ток, и обратный ток p-n перехода подчиняется уравнению Шокли (рис.3 и рис.5, пунктирная кривая).

При малом значении собственной концентрации n_i, например, в кремнии, может преобладать ток термогенерации (рис.6, сплошная кривая).

Для p-n переходов в полупроводниках с достаточно широкой запрещенной зоной (например, в кремнии), если эффективное время жизни τ_g не зависит или слабо зависит от температуры, то в уравнении (58) можно пренебречь первым членом, и плотность обратного тока такого p⁺-n перехода будет пропорциональна собственной концентрации носителей n_i.

~ .               (60)

То есть при обратном смещении , когда  модуль плотности обратного тока  будет увеличиваться с температурой примерно по экспоненте.

Поэтому наклон зависимости  будет определяться половиной ширины запрещенной зоны .

~ .                                           (61)

Прологарифмировав обе части уравнения (61) получим линейную зависимость логарифма удельной электропроводности от обратной температуры.

,                                           (62)

Из уравнения (62) можно получить ширину запрещенной зоны полупроводника в Дж:

.                                               (63)

Пунктирная кривая на рис.4 представляет собой зависимость  в координатах Аррениуса ,  для p+-n перехода в кремнии (I_R0 – плотность обратного тока при температуре 25 °C).

Учет температурной зависимости ширины запрещенной зоны

Величина ширины запрещенной зоны, вычисленная по формуле (55) или (63), даёт истинное значение Е_g, лишь в случае, когда Е_g не зависит от температуры. В действительности ширина запрещенной зоны зависит от температуры. Эта зависимость определяется рядом причин, обусловленных статическими и динамическими факторами. К уменьшению ширины запрещенной зоны может приводить рост амплитуды тепловых колебаний атомов кристаллической решетки и увеличение расстояний между атомами при термическом расширении кристалла. Строго учесть эти факторы невозможно, поэтому зависимость ширины запрещенной зоны от температуры E_g(T) находят эмпирически.

,                                                  (64)

где E_g(0) – ширина запрещенной зоны полупроводника при температуре абсолютного нуля, α и β – постоянные.

Для линейного участка при температурах от 280 K до 400 K эту зависимость Е_g(Т)можно представить в линейной функции температуры

,                                                           (65)

где Е_g0 - ширина запрещенной зоны, полученная экстраполяцией линейной зависимости к абсолютному нулю; g - температурный коэффициент.

Величины Е_g(0 K), α, β, Е_g(З00 K), Е_g0 и g для кремния и германия приведены в таблице 1.

Таблица 1

Графики эмпирических зависимостей E_g(T) и экстраполирующих прямых (линейных линий тренда) в диапазоне температур от 280 K до 400 K представлены на рис.6. На этом же рисунке приведены данные линий тренда и коэффициенты корреляции, показывающие, что совпадение линий тренда с эмпирическими данными достаточно хорошее (R²≥0.99).

Для германиевого p-n перехода подставим зависимость (65) в выражение (55) и получим

.                                         (66)

В координатах Аррениуса ,  это выражение представляет собой прямую линию (рис.4, сплошная кривая). Ширина запрещенной зоны, определенная по представленной на рис.4 сплошной кривой составляет ≈0.66 эВ, что соответствует ширине запрещенной зоны германия при температуре 300 K.

Ширина запрещённой зоны определяется из значений производной функции ln(I_R) по .

.             (67)

Подставив же зависимость (65) в выражение (62) получаем

.         (68)

В координатах Аррениуса ,  выражение (67) представляет собой прямую линию (рис.4, пунктирная кривая).

Ширина запрещенной зоны, определенная по представленной на рис.4 пунктирной кривой 2 E_g≈1.12 эВ, что соответствует ширине запрещенной зоны кремния при температуре 300 K.

Окончательно ширина запрещённой зоны (в эВ), полученная экстраполяцией к абсолютному нулю, равна:

,                                                     (69)

где .

Для нахождения ширины запрещённой зоны при комнатной температуре необходимо воспользоваться формулой (65).