Дифференцирование композиции функций.

Теорема 4. Если функция f :X → Y⊂Rдифференцируемавточкеx, афункцияg :Y→Rдифференцируемав

точке y = f(x) ∈Y , токомпозицияg◦f :X→Rэтихфункций дифференцируема в точке x, причем

(g ◦ f)’(x) = g’(f) · f’(x).

35 Дифференцирование обратной функции.

Теорема 5 (О производной обратной функции). Пусть функции f: X→Y, f^-1: Y→X взаимно обратны и непрерывны в точках x₀∈X и f(x₀) = y₀∈Y соответственно. Если функция f(x) дифференцируема в точке x₀ и f≠0, то функция f^-1 также дифференцируема в точке y₀ , причем (f^-1)’(y₀)=1/f’(x₀).

Доказательство. Из непрерывности f(x) в x₀ и f^-1в y₀ можно заключить, что при x→x₀ , x∈X имеем y = f(x) → y₀, y=f(x) ∈ Y и y=f(x)≠ y₀ , если x≠x₀ . Используя теперь теорему о пределе композиции функций и арифметические свойства предела, находим .

Таким образом, показано, что в точке y₀ функция f⁻¹ : Y→X имеет производную и (f^-1)’(y₀)=1/f’(x₀).

Замечание 1. Если бы заранее было известно, что функция f⁻¹ дифференцируема в точке y₀, то из тождества (f⁻¹○f)(x) ≡ x по теореме о дифференцировании композиции функции сразу бы нашли, что (f⁻¹)’ (y₀ )·f’(x₀) = 1.

Замечание 2. Теореме можно дать геометрическую интерпретацию. Как известно, =tgα, где α – значение угла, образуемого касательной графика функции f(x) в точке (x₀, y₀ ) с положительным направлением оси Ox, тогда

, где β – значение угла, образованного той же касательной с осью Oy. Действительно, поскольку β = −α, то

36 Производные элементарных функций.

а). Производная и дифференциал логарифмической функции. Пусть y = log _a x, где a > 0,a 1. Тогда y = log a (x + x) – log _a x = log _a(1 + ). Следовательно, по определению y₀= = = log_a = log_ae= . Здесь воспользовались вторым замечательным пределом и непрерывностью логарифмической функции. Итак, y = log_ax⇒y₀= log_ae= ⇒dy = . б). Производная и дифференциал степенной функции Пусть y =(u(x))^α, α∈R. Рассмотрим вначале случай, когда u(x) > 0. Если u(x) > 0, то lny = αlnu(x). Продифференцируем полученное равенство почленно по правилу дифференцирования сложной функции, считая y функцией от x: (lny)’ = (αlnu(x))’ ⇒ = ⇒ dy = . Пусть теперь u(x) < 0. Представим функцию y = (u(x))^α в виде (−1)^α (v(x))^α , где v(x) > 0. Тогда y’= (−1)^αα(v(x))^α−1v’(x) = α(u(x))^α−1u’(x). Итак y =(u(x))^α

⇒ y’= α(u(x))^α−1u’(x) ⇒ dy = α(u(x))^α−1du(x).

37. Производные и дифференциалы высших порядков 1. Производные высших порядков.

Пусть f : X → Y функция, дифференцируемая в каждойточке x∈X. Ее производная в точке x есть некоторая функция g(x) = f’(x). Если функция g(x) дифференцируема, то имеет смысл определить ее производную g’(x) =(f’(x))’, которая называется второй производной функции f(x) и обозначается f’’(x). Таким образом, f’’(x) =(f’(x))’. Аналогично f’’(x) может оказаться дифференцируемой функцией в точке x, тогда f’’’(x)=(f’’(x))’ есть третья производная функции f(x). Точно так же, если в точке x определена производная порядка n−1 функции f(x), то производная порядка n или n-ая производная функции f(x) определяется формулой f⁽ⁿ⁾(x)=(f^(n-1)(x))’ , n=1,2,…

Отметим, что в формуле принято f⁽⁰⁾(x) = f(x), т.е. производная нулевого порядка есть сама функция.

Для n-ой производной функции f(x) применяются и другие обозначения: f⁽ⁿ⁾_xx…x(x), f⁽ⁿ⁾_xⁿ(x), .

Функция f(x) называется n раз дифференцируемой в точке x∈X, если в этой точке у нее существуют все производные до n-го порядка включительно.

Если f(x) дифференцируема n раз в каждой точке x∈X и f⁽ⁿ⁾(x) является непрерывной функцией на X, то f(x) называется n раз непрерывно дифференцируемой функцией или функцией класса C⁽ⁿ⁾[X]. Множество непрерывных функций, определенных на X, обозначается C[X]. Функция, имеющая производную любого порядка, называется бесконечно дифференцируемой.

2.Дифференциалы высших порядков.

Пусть функция f : X → Y дифференцируема и df = f’(x)dx - ее дифференциал. Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка, который обозначается d²f, то есть d²f = d(df). Дифференциал n-го порядка есть dⁿf = d(d^n-1f).

Если x – независимая переменная, а dx – постоянная (не зависит от x) и функция f имеет n производных, то, учитывая, что (dx)’=(dx)’’=…=(dx)⁽ⁿ⁾=0 последовательно находим: df=f’(x)dx, d²f=d(f’(x)dx)=(f’(x)dx)’dx=f’’(x)(dx)²=f’’(x)dx², … , dⁿf=d(f^(n-1)(x)dx^n-1)=f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ.

Предположим теперь, что x есть некоторая функция параметра t, то есть x = ϕ(t), t∈T. Тогда f является сложной функцией f(ϕ (t)) и ее первый дифференциал, как известно, обладает свойством инвариантности формы. Покажем, что дифференциалы более высокого порядка в этом случае инвариантностью не обладают.

В самом деле, если x - независимая переменная, то d²f=f’’_xxdx².

Если же f = f(x), x = ϕ(t), то d²f=d(df)=d(f’_xdx)=df’_x^.dx+f’_x^.d(dx)=f’’_xxdx²+f’_xd²x,

что не совпадает с полученной выше формулой для d²f в случае независимой переменной.

Теорема Ферма.

Определение 1. Точка x₀∈ X называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), а значение в ней локальным максимумом (минимумом), если существует окрестность V (x₀ ) точки x₀ , такая, что ∀x ∈ V (x₀ ) имеем f(x)≤f(x₀) (f(x)≥f(x₀)).

Определение 2. Точка x₀∈X называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f(x), если существует проколотая окрестность (x₀) точки x₀, такая, что ∀x∈ (x₀) имеем f(x) <f(x₀) (f(x)>f(x₀)).

Определение 3. Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в них - локальными экстремумами функции.

Заметим, что если x₀ точка строгого локального экстремума функции f(x), то приращение ∆f(x₀ ) = f(x₀ + ∆x) − f(x₀), ∀x ∈ (x₀) сохраняет знак.

Теорема 6 (Ферма). Пусть функция f(x) определена на интервале (a;b) и в некоторой точке x₀∈ (a; b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке x₀ существует конечная производная f’(x₀), то f’(x₀) = 0.

Доказательство. Пусть для определенности в точке x₀ функция имеет локальный минимум, т.е. f(x)≥f(x₀),∀x ∈ V (x₀). Тогда в силу дифференцируемости функции f(x) в точке x₀ при x > x₀ получим

а при x < x₀ будем иметь

Эти неравенства имеют место одновременно лишь при f’₊(x₀)=f’_-(x₀)=f’(x₀)=0.

Замечание 1. Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в следующем: если точка x₀ ∈ (a; b) является точкой максимума или минимума функции и существует f’(x₀), то касательная, проведенная к графику функции в точке (x₀,f(x₀))параллельна оси Ox.

Замечание 2. Оба условия – интервал (a;b) и дифференцируемость функции в точке локального экстремума – обяза- тельны для справедливости теоремы Ферма. Действительно, пусть f(x) = |x|, x∈ (−1;1). В точке x₀= 0 функция f(x) имеет локальный минимум, но в ней она не дифференцируема. В данном случае условие существования производной в точке локального минимума нарушено и поэтому теорема Ферма не имеет места.

Пусть теперь f(x) = x³, x∈ [−1;1]. В точке x₀ = 1 имеется краевой максимум, но f’(1)=3≠0. Теорема Ферма не применима в данном случае, поскольку x = 1 (−1;1).

39 Теорема Ролля.

Теорема 7. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема в каждой точке интервала (a; b) и f(a) = f(b). Тогда существует хотя бы одна точка ξ, a<ξ<b, такая, что f’(ξ) = 0.

Доказательство. Если f(x) – постоянная на [a; b], то f’(x) = 0, ∀x ∈ (a; b).

Пусть теперь f(x) не является постоянной функцией. Непрерывная на отрезке [a;b] функция по теореме Вейерштрасса достигает в некоторых точках отрезка [a; b] наибольшего и наименьшего значений. Поскольку f(x) не является постоянной, то или или обязательно достигаются функцией во внутренней точке ξ отрезка [a; b].

По теореме Ферма f’(ξ) = 0.

Замечание 3. Геометрический смысл теоремы Ролля следующий: при выполнении условий теоремы внутри отрезка [a;b] обязательно найдется хотя бы одна точка ξ, такая, что касательная к графику f(x) в точке (ξ,f(ξ)) параллельна оси Ox.

Следствие 1 (Обобщенная теорема Ролля). Пусть функция f(x) n раз непрерывно дифференцируема на отрезке [a; b] и обращается в нуль в n + 1-й точке x₀ , x₁ , x₂ , ... ,x_n этого отрезка. Тогда существует такое число ξ∈ (a;b), что f⁽ⁿ⁾(ξ) = 0.

Доказательство. Для простотырассуждений ограничимся случаем n = 2, т.е. функция f(x) обращаетсяв нуль в точках x₀ , x₁ , x₂ . Для определенности будем считать, что x₀<x₁<x₂ . Так как f(x₀) = f(x₁) = f(x₂) = 0, то по теореме Ролля существует ξ₁ ∈ (x₀; x₁), что f’(ξ₁) = 0, и существует, ξ₂∈(x₁;x₂), что f’(ξ₂)=0. Итак, на концах отрезка [ξ₁;ξ₂] выполнено условие f’(ξ₁ )=f’(ξ₂) = 0. По теореме Ролля на отрезке [ξ₁ ;ξ₂] существует точка ξ в которой f’’(ξ) = 0.

Теорема Лагранжа

Теорема 8. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b), то существует по крайней мере одна точка ξ ∈ (a; b), такая, что f(b) − f(a) = f’(ξ)(b − a). Доказательство. Составим вспомогательную функцию (x) = (b − a)f(x) –(f(b) −f(a))x. Покажем, что функция (x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Действительно: 1) (x) непрерывна на [a; b], так как является суммой непрерывных на [a; b] функций; 2) (x) дифференцируема на (a; b), так как является суммой дифференцируемых на (a; b) функций; 3) (a) = (b) = bf(a) − af(b). Итак, (x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля, причем ‘(x) = (b − a)f ‘(x) – (f(b) − f(a) ). По теореме Ролля существует точка ξ ∈ (a; b), такая, что ‘(ξ) = 0, т.е. (b − a)f’(ξ) –(f(b) − f(a))= 0 ⇔ f(b) − f(a) = f’(ξ)(b − a).

41 Теорема Коши.Обобщением теоремы Лагранжа является теорема Коши.

Теорема 9. Пусть функции f(x) и g(x) удовлетворяют следующим условиям: 1) непрерывны на отрезке [a; b]; 2) дифференцируемы в интервале (a; b), причем g‘(x) 0, ∀x ∈ (a; b). Тогда существует по крайней мере одна точка ξ ∈ (a; b) такая, что

Доказательство. Составим вспомогательную функцию

Заметим, что g(b) g(a). Действительно, если бы g(b) = g(a), то для функции g(x) на отрезке [a; b] были бы выполнены все условия теоремы Ролля, и по этой теореме внутри отрезка [a; b] нашлась бы по крайней мере одна точка ξ, для которой g’(ξ) = 0, что противоречит условию теоремы. Следовательно g(b) g(a).

Покажем, что вспомогательная функция (x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля. действительно: 1) (x) непрерывна на [a; b] как сумма непрерывных на [a; b] функций; 2) (x) дифференцируема на интервале (a; b) как сумма дифференцируемых на (a; b) функций; 3) (a) = 0, (b) = 0 поэтому и (a) = (b). Найдем

По теореме Ролля существует точка ξ ∈ (a; b) такая, что (ξ) = 0, поэтому

42-43 Раскрытие неопределенностей. Остановимся на одном частном, но полезном приеме отыскания предела отношения функций, известном как правило Лопиталя.

Теорема 10 (Неопределенность вида 0/0 ).Пусть:

1) функции f(x) и g(x) определены в промежутке (a; b];

3) в промежутке (a; b] существуют конечные производные f’(x) и g’(x), причем g’(x) 0; 4) существует (конечный или бесконечный) предел Доказательство. Дополним определения функций f(x) и g(x), положив их при x = a равными нулю: f(a) = g(a) = 0. Тогда эти функции окажутся непрерывными во всем замкнутом промежутке [a; b]; их значения в точке a совпадают с пределами при x → a, а в прочих точках непрерывность вытекает из существования конечных производных. Применяя теорему Коши, получим

где a < c < x. То обстоятельство, что g(x) 0, т.е. g(x) g(a) есть следствие предложения g’(x) = 0. Когда x → a, очевидно, и c → a, так что, в силу условия 4)

Теорема 11 (Неопределенность вида ∞/∞). Пусть: 1) функции f(x) и g(x) определены в промежутке (a; b];

3) существуют в промежутке (a; b] конечные производные f’(x) и g’(x), причем g’(x) 0;

4) существует (конечный или бесконечный) предел