Формула Тейлора. Остаточный член ф форме Пеано

Имеем, что дифференцируемую функцию f(x) в окрестности точки x₀ можно представить в виде f(x) = f(x₀) + f’(x₀)(x − x₀) + o(x − x₀), x → x₀,т.е. существует многочлен первой степени P₁(x) = f(x₀) + A · (x − x₀), такой, что при x → x0 имеет место равенство f(x) = P₁(x) + o(x − x₀), причем многочлен P₁(x) удовлетворяет условиям P₁(x0) = f(x₀), P’₁(x₀) = f’(x₀). Поставим более общую задачу. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ и имеет в этой точке n производных f’(x₀), f’’(x₀), . . . , f⁽ⁿ⁾(x₀). Найдем многочлен P_n(x) степени не выше n, такой, что f(x) = P_n(x) + o((x − x₀)ⁿ), x → x0, (1), Будем искать многочлен P_n(x) в виде P_n(x) = A₀ + A₁(x − x₀) + A₂(x − x₀)²+ . . . + A_n(x − x₀)ⁿ Отсюда, дифференцируя, последовательно находим: P’_n(x) = A₁ + 2A₂(x − x₀) + 3A₃(x − x₀)²+ . . . + nA_n(x − x₀)ⁿ⁻¹. P’’_n(x) = 2 · 1 · A₂ + 3 · 2 · A₃(x − x₀) + 4 · 3 · A₄(x − x₀)²+ . . . + n(n − 1)A_n(x − x₀)ⁿ⁻², P⁽ⁿ⁾_n (x) = n(n − 1)(n − 2) · . . . · 3 · 2 · 1 · A_n. Tеперьполучаем : f(x₀) = P_n(x⁰) = A₀ ⇒ A₀ = f(x₀); f’(x₀) = P’_n(x₀) = A₁ ⇒ A₁ = f’(x₀);

Теорема 12. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ и n раз дифференцируема в ней. Тогда при x → x₀ имеет место формула f(x) = f(x₀) + f’(x₀)(x − x₀) + (x − x₀)²+ . . . + (x − x₀)ⁿ + o((x − x₀)ⁿ) , эта называется формулой Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Пеано, где R_n(x) =

= f(x) − P_n(x) = o((x − x0)ⁿ), x → x0 – остаточный член.

 

47. Экстремум ф-ции.Теорема 14. Пусть x₀ является точкой экстремума функции f(x), определённой в некоторой окрестности точки x₀. Тогда либо производная f’(x₀) не существует, либо f’(x₀) = 0. оказательство. Действительно, если x₀ является точкой экстремума для функции f(x), то найдётся такая окрестность V (x₀), что значение функции f(x) в точке x₀ будет наибольшим, или наименьшим на этой окрестности. Поэтому если в точке x₀ существует производная, то она, согласно теореме Ферма равна нулю. геометрический смысл теоремы 14 заключается в следующем: в точках экстремума функции f(x) касательная к её графику параллельна оси абсцисс, если существует f’(x₀) = 0; параллельна оси ординат, если f’(x₀) бесконечна; существуют не совпадающие левая и правая касательные, если f’(x₀ − 0) f’(x₀ + 0).Точки, в которых функция y = f(x) определена, а ее производная равна нулю, или не существует, называют критическими. Точки, в которых функция y = f(x) определена, а ее производная равна нулю, называют стационарными. Теорема 15 (Первый достаточный признак существования экстремума функции). Пусть x₀ - критическая точка непрерывной функции f(x). Если f’(x) при переходе через точку x₀ меняет знак с «+» на «-», то x₀ - точка локального максимума; если f’(x) при переходе через точку x₀меняет знак с «-» на«+», то x₀ - точка локального минимума; если f’(x) при переходе через точку x₀ не меняет знак, то x₀ не является точкой локального экстремума. Теорема 16 (Второй достаточный признак существования экстремума функции). Стационарная точка x₀ функции f(x), дважды дифференцируемой в V (x0), является точкой локального минимума если f’’(x₀) > 0, и точкой локального максимума, если f’’(x₀) < 0. Теорема 17 (Третий достаточный признак существования экстремума функции).

Пусть функция f(x) n раз непрерывно дифференцируема в точке x₀ и f’(x₀) = f’’(x₀) = . . . = f⁽ⁿ⁻¹⁾(x₀) = 0,f⁽ⁿ⁾(x₀) 0. Тогда: 1) если n - чётное и f⁽ⁿ⁾(x₀) < 0, то x₀ - точка локального максимума; 2) если n - чётное и f⁽ⁿ⁾(x₀) > 0, то x₀ - точка локального минимума;

3) если n - нечётное, то x₀ - не является точкой локального экстремума.

 

 

Выпуклость функции

Определение 1. Функция f(x) называется выпуклой вниз (выпуклой) на интервале (a; b), если для любых x₁ и x₂ из

(a; b), a ≤ x₁<x₂ ≤ b, хорда AB лежит не ниже графика этой функции, где A =(x₁, f(x₁)), B =(x₂, f(x₂)), т.е.

f(x₁+t(x₂−x₁))≤f(x₁)+t·(f(x2) − f(x1)), t ∈ [0; 1]. (5.28)

Определение 2. Функция f(x) называется выпуклой вверх (вогнутой) на интервале (a; b), если для любых x₁ и x₂ из

(a; b), a ≤ x₁<x₂ ≤ b, хорда AB лежит не выше графика этой функции, т.е. если f(x₁+t(x₂−x₁))≥f(x1)+t·(f(x₂ −f(x₁)), t∈[0; 1].

Теорема 18. Непрерывно дифференцируемая функция f(x) выпукла вниз на (a; b) тогда и только тогда, когда для любых x₁ и x₂ из (a; b) выполнено неравенство

f(x₂) ≥ f(x₁) + f’(x₁)(x₂ − x₁) (5.29)

Доказательство. Необходимость. Из (5.28) имеем f(x₁+t(x₂−x₁))−f(x₁)tf(x₂)−f(x₁). В этом неравенстве перейдём к пределу при t → +0. Получим

lim_t→+0f(x₁ + t(x₂ − x₁))− f(x₁)t= lim_t→+0f(x₁ + t(x₂ − x₁))− f(x₁)t(x₂ − x₁)·(x₂ − x₁) = f’(x₁)(x₂ − x₁) ≤ f(x₂) − f(x₁).

Достаточность. Пусть выполнено условие (5.29). Примем в нём x₁ = x. Тогда f(x₂) ≥ f(x) + f’(x)(x₂ − x). (5.30)

Заменив в (5.30) x₂ на x₁, будем иметь f(x₁)≥f(x)+f’(x)(x₁−x). (5.31)

Умножив обе части неравенства (5.30) на t, а неравенства (5.31) на 1−t и сложив получившиеся при этом неравенства,

получим tf(x₂) + (1 − t)f(x1) ≥ f(x) + f’(x)·(t(x₂ − x₁) + x₁ – x).

Отсюда при x = x₁ + t(x₂ − x₁) получим

f(tx₂ + (1 − t)x₁)≤tf(x₂) + (1 − t)f(x₁), t ∈ [0; 1],т.е. (5.28).

Аналогично доказываются необходимые и достаточные условия выпуклости вверх на интервале непрерывно дифференцируемой функции f(x).

Составим уравнение касательной к графику непрерывно дифференцируемой функции f(x) в точке x1: Y=f(x₁)+f’(x₁)(x−x₁).

Тогда правая часть неравенства (5.29) есть Y (x₂) и, значит, f(x₂) >Y (x₂). Отсюда и из теоремы 18 получаем:

Следствие 2. Непрерывно дифференцируемая функция f(x) выпукла вниз на (a; b) тогда и только тогда, когда все точки (x,f(x)), x∈ (a; b), графика функции f(x) лежат не ниже касательной проведенной к нему в точке (x₁, f(x₁)), x₁∈ (a; b).

Теорема 19 (достаточное условие выпуклости).

Если f(x) дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a; b) и f’’(x)>0, ∀x∈(a;b), то на (a;b) функция f(x) выпукла вниз.

Если f’’(x)<0, ∀x∈(a;b), то на (a;b) функция f(x) выпукла вверх.

Доказательство. Пусть x₁ - любая точка на (a; b). К графику функции f(x) в точке (x₁, f(x₁)) проведём касательную Y(x)=f(x₁)+f’(x₁)(x−x₁).

Функцию f(x) разложим по формуле Тейлора

f(x) = f(x₁) + f’(x₁)(x − x₁) + + (x − x1)2,

где ξ∈ (x1; x).

Рассмотрим разность f(x) − Y (x) = 1

2f’’(ξ)(x − x1)², которая представляет собой разность ординат кривой f(x) и касательной Y (x) в точке x. В силу непрерывности f’’(x), если f’’(x₁) > 0, то и f’’(ξ) > 0 в достаточно малой окрестности V (x₁) точки x₁, а потому и f(x) − Y (x) > 0, ∀x∈V (x₁).

Аналогично, если f’’(x₁) < 0, то f(x) − Y (x) < 0, ∀x∈V (x₁).

На основании следствия получаем, что в первом случае функция выпукла вниз, во втором - выпукла вверх.

 

Tочки перегиба

Определение 3. Точка x₀ называется точкой перегиба функции f(x), если при переходе через точку x₀ функция

меняет характер выпуклости.

Теорема 20 (необходимое условие точки перегиба). Если функция f(x) имеет непрерывную в точке x₀ произ-

водную f’’(x) и x₀ – точка перегиба, то f’’(x₀) = 0.

Доказательство. Если бы в точке перегиба x0 выполнялось неравенство f’’(x₀) > 0 или f’’(x₀) < 0, то в силу непрерывности f’’(x) существовала бы окрестность точки x0, в которой f’’(x) > 0 или f’’(x) < 0. По теореме 19 в этой окрестности функция была бы выпукла вниз или вверх соответственно, что противоречит наличию перегиба в точке x₀.

Из теоремы 20 следует, что точками возможного перегиба функции f(x) могут быть точки x0 в которых f’’(x₀) = 0, либо точки, в которых f’’(x) не существует, в частности она бесконечна.

Теорема 21 (первое достаточное условие перегиба). Если функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема в

окрестности точки x₀ и при переходе через точку x₀ производная f’’(x) меняет знак, то точка x₀ является точкой

перегиба функции f(x).

Доказательство. Пусть, к примеру, f’’(x) > 0 при x<x₀ и f’’(x)<0 при x>x₀. Тогда по теореме 19 функция f(x) выпукла вниз на интервале (x; x₀) и выпукла вверх на интервале (x₀; x), т.е. x₀ – точка перегиба.

Теорема 22 (общее достаточное условие перегиба). Пусть в точке x₀ для функции f(x) выполнены условия

f’’(x₀) = f’’’(x₀) = . . . = f⁽ⁿ⁻¹⁾ (x₀) = 0

и в точке x₀ существует непрерывная производная f (x₀), n> 2, причём f (x₀) = 0. Если n – нечётное число, то

в точке x₀ функция f(x) имеет перегиб.

Доказательство. Разлагая f(x) по формуле Тейлора n−1-го порядка с учетом условия получаем

f(x) = f(x₀) + f’(x₀)(x − x₀) + (x − x₀)ⁿ, (5.32)

где ξ расположена между x₀ и x.

Если Y (x) = f(x₀) + f’(x₀)(x − x₀) уравнение касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)), то из (5.32) имеем

f(x) − Y (x) = (x − x₀)ⁿ, (5.33) где n – нечётное.

В силу непрерывности f⁽ⁿ⁾(x) в точке x₀ существует окрестность этой точки, в которой производная f⁽ⁿ⁾(x) сохраняет знак, совпадающий со знаком f⁽ⁿ⁾(x₀). Поэтому можем считать, что знаки f⁽ⁿ⁾(x₀) и f⁽ⁿ⁾(ξ) совпадают. Тогда из равенства (5.33) получаем, что при переходе x через x₀ слева направо график функции располагается по разные стороны от касательной, т.е. в точке (x₀, f(x₀)) имеется перегиб.