Понятие линейной зависимости (независимости) векторов. Свойства ЛЗ, ЛНЗ.

Определение.

Выражение вида + 2 +…+ называется линейной комбинацией векторов … .

Линейная комбинация – тривиальная, если все её коэффициенты = 0.

- нетривиальная, когда хотя бы один коэффициент отличен от 0.

Если вектор может быть представлен в виде = +…+ , то говорят, что линейно выражается через … .

Примеры.

1.

 

 

выражен через .

=3 + 2

 

 

Система векторов … называется линейно зависимой (ЛЗ), если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулю.

, , (прим.2.)

Замечание. Иными словами, если хотя бы один вектор из системы выражается через остальные, то система будет ЛЗ.

Система векторов … называется линейно независимой (ЛНЗ), если только тривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулю.

Рассмотрим , (прим.2.)

* + * = , только если = =0

Замечание. Иными словами, система векторов – ЛНЗ, если ни один из векторов не выражается через остальные.

Свойства линейной зависимости.

1) Если система векторов содержит , то она – ЛЗ.

, , … ,

2) Всякая подсистема линейно независимой системы линейных векторов сама является ЛНЗ.

… - ЛНЗ

Предположим , … , – ЛЗ Þ * + … + =

i 0

* + … + + * + … + = Þ i 0

Исходная система ЛЗ, значит предположение неверно.

 

3) Если система векторов содержит два пропорциональных вектора, то она линейно зависима.

, , …

 

4) Если система векторов … - ЛНЗ и –линейно выражается через эти векторы, то такое выражение единственно.

 

Предположим, что существует ещё одно выражение для .

= * + … +

 

= ( + … + ( )

 

Т.к. … – ЛНЗ

 

Þ

Выражение для и – одинаковые.

 

6. Геометрический смысл линейной зависимости (ЛЗ) (коллинеарность)

 

Геометрический смысл линейной зависимости

Определение.

– коллинеарные, если они параллельны одной прямой ( )

Утверждение 1.

– коллинеарные тогда и только тогда, когда они ЛЗ

(необходимость) => дано: . – кол. => , 1 - =0 => . - ЛЗ

(Т.к. нетривиальная комбинация)

(достаточность)<= дано - ЛЗ => => коллинеарные.

M

Утверждение 2.

N

O

На плоскости существует 2 ЛНЗ вектора.

O, M, N не лежат на одной прямой.

– неколлинеарные, значит мы не сможем выразить один через другой => ЛНЗ

Утверждение 3.

Любые 3 вектора на плоскости ЛЗ.

Случай 1. Если среди этих векторов есть 2 коллинеарных, то система ЛЗ.

, , .

Случай 2. Векторы – попарно неколлинеарные.

 

7. Геометрический смысл линейной зависимости (ЛЗ) (компланарность)

Компланарными называют векторы одной плоскости

3 компланарных вектора – ЛЗ. = α₂ + α₁

 

 

 

Определение.

Векторы называются комланарными, если они параллельны одной плоскости.

Утверждение 4.

Три вектора компланары тогда и только тогда, когда они ЛЗ.

– компланарны – ЛЗ.

дано: компланарны. Значит их можно параллельным переносом перенести в одну плоскость.

,

дано: - ЛЗ. Значит один из них можно выразить через остальные. Тогда геометрическая конструкция, связывающая векторы – параллелограмм, а параллелограмм принадлежит плоскости.

Значит все векторы принадлежат одной плоскости, т.е. они компланарны.

Утверждение 5.

В пространстве существует три ЛНЗ вектора.

Рассмотрим точки O, M, N, K, не принадлежащие одной плоскости

K

M

N

О

не являются компланарными, значит эта совокупность векторов не является ЛЗ, значит эти векторы ЛНЗ.

 

 

Утверждение 6.

Любые 4 вектора в пространстве – ЛЗ.

(Доказать самостоятельно!)