Векторное произведение векторов. Свойства. Координатная форма.

1. Определение:

Векторное произведение векторов -это вектор, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на и как на сторонах.

Направление результирующего вектора определяется по правилу:

1) перпендикулярен плоскости и ;

2) из конца кратчайший поворот от к виден против часовой стрелки.

(Правая тройка векторов).

С

 

2.Простейшие свойства:

1). =0 ó векторы коллинеарные или хотя бы один из векторов равен 0.

=0 ó или =0 или =0

2). sin =S

 

3).

4).

Чтобы доказать это равенство векторов, необходимо убедиться в равенстве их длин (направление совпадает).

=

Направление:

>0( <0)

 

 

 

 

3. Определение:

Проекцией на плоскостьназывается вектор, начало и конец которого являются проекциями начала и концасоответственно.

Замечание:

1). Равные векторы имеют равные проекции.

2).Проекция суммы равна сумме проекций.

Утверждение:

Пусть имеются и . Обозначим через проекцию на плоскость , тогда имеет место равенство:

(1)

Доказательство:

Следствие №1:

Длина.

В

А К

C

 

 

Равенство (1)-это равенство двух векторов, значит будем, что длины равны и направления совпадают.

- численно равна S построенного на и . Площадь этого прямоугольника равна (высота параллелограмма)

Направление:

Очевидно, что лежит в плоскости , т.к. должен быть , кроме того , так же , а значит плоскости параллелограмма ABCD.

В

А

К

Д

 

 

В этом случае мы рассмотрим ситуацию, когда угол между векторами тупой.

Следствие №2.

, значит

Утверждение:

Векторное произведение обладает свойством дистрибутивности:

Координатная форма векторного произведения.

Пусть задан базис , причем они единичны и попарноперпендикулярны, также они образуют правую тройку:

Посчитать векторное произведение можно с помощью определитель:

Разложив по первой строке:

 

Смешанное произведение векторов, свойства. Координатная форма смешанного произведения.

3. Определение:

Смешанным произведением называется число

Замечание:

Смешанное произведение векторов равно 0, тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарные или хотя бы один из них равен 0.

Замечание:

Порядок следования векторов в расчёте смешанного произведения важен:

Утверждение:

Смешанное произведение отличных от нуля векторов с точностью до знака равно объёму параллелепипеда построенного на этих векторах как на сторонах, причём, если тройка векторов правая, то результат положительный, если левая, то отрицательная.

 

 

 

где S-площадь параллелограмма.

Свойства:

1) (только по циклу). Во всех случаях числа с точностью до знака равны объёму параллелепипеда, построенного на . Знак зависит от того, какого вида тройка.