Уравнение плоскости в нормальной форме

Если точка А(x,y,z) принадлежит плоскости

ax+by+cz+d=0, (*)

то её координаты удовлетворяют уравнению (*).

Выясним, какой геометрический смысл имеет выражение ax+by+cz+d, если точка А не принадлежит плоскости.

Опустим из точки А перпендикуляр на плоскость. Пусть А₀(x₀,y₀,z₀) – основание перпендикуляра. Так как точка А₀ лежит на плоскости, то ax₀+by₀+cz₀+d=0.

Отсюда ax+by+cz+d=a(x-x₀)+b(y-y₀)+c(z-z₀)= n = , где n– вектор, перпендикулярный плоскости с координатами a,b,c, а -- расстояние точки А от плоскости.

Таким образом, ax+by+cz+d положительно по одну сторону плоскости, отрицательно по другую, а по абсолютной величине пропорционально расстоянию точки А от плоскости. Коэффициент пропорциональности:

Если уравнение плоскости a²+b²+c²=1,то ax+by+cz+d будет равно с точностью до знака расстоянию от плоскости. В этом случае говорят, что плоскость задана уравнением в нормальной форме.

Очевидно, чтоб получить нормальную форму уравнения плоскости (*), достаточно разделить его на

.

Особенности расположения плоскости в системе координат, взаимное расположение плоскостей.

Угол между двумя плоскостями.

Пусть две плоскости π₁ и π₂ заданы общими уравнениями А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0. Очевидно, вопрос об определении угла между указанными плоскостями сводится к определению угла φ между их нормальными векторами n₁ = {А_1, В_1, С₁}и n₂= {А_2, В_2, С₂}

Замечание:Любые две пересекающиеся плоскости образуют два угла, в сумме равных π. Нам достаточно определить один из этих углов.

Из определения скалярного произведения n₁n₂ =|n₁ | |n₂ | cos φ и из выражения в координатах длин векторов n₁ и n₂ и их скалярного произведения, получим

cos φ = (1)

Итак, угол φ между плоскостями π₁ и π_2, определяется с помощью формулы (1).

Условие параллельности плоскостей π₁ и π_2, эквивалентное условию коллинеарности векторов n₁ и n_2, заключается в пропорциональности координат этих векторов, т.е. имеет вид

= = . (2)

Условие перпендикулярности плоскостей π₁ и π₂ может быть извлечено из формулы (1) (при cos φ = 0) или выражено равенством нулю скалярного произведения векторов n₁ и n₂. Оно имеет вид

А₁А₂ + В₁В₂ + С₁С₂ = 0

Различные виды уравнения прямой в пространстве

( общее уравнение прямой, каноническая форма).

Общее уравнение прямой в пространстве.

Любую прямую можно задать как линию пересечения двух плоскостей, следовательно, прямая может быть задана системой уравнений:

И обратно: любая система двух линейных уравнений будет уравнением некоторой прямой пространства(система должна быть совместной).

Каноническая форма:

= =

На самом деле, это система двух линейных уравнений, значит, такое уравнение действительно задает прямую