Косоугольная система координат

Аффинная система координат (косоугольная система координат) — прямолинейная система координат в аффинном пространстве.

В -мерном пространстве она задаётся упорядоченной системой линейно независимых векторов , выходящих из одной точки . Аффинными координатами точки называют такие числа , что

Tочку и систему векторов называют репером или аффинным базисом; прямые, проходящие через вектора — координатными осями.

На аффинной плоскости координату называют абсциссой, а — ординатой точки . В пространстве же координаты точки называют её абсциссой, ординатой и аппликатой. Аналогичным образом именуют и координатные оси.

 

Связь между полярными и декартовыми координатами на плоскости. Примеры. (уравнения прямой и окружности).

 

 

Сферическая и цилиндрическая система координат в пространстве.

СНЯТ

Скалярное произведение векторов, простейшие свойства.

Определение:

Углом между векторами a и b называется угол между равными им векторами, выходящими из одного начала.

 

Определение:

Скалярным произведением векторов a и b называется произведение их длин на cos угла между векторами.

a b = |a||b|cos a (получается число)

Простейшие свойства:

1) ab = ba (коммутативность)

2) la b = l(ab)

Если l>0

la b = |la| |b| cos a = |l| |a| |b| cos a = l (|a| |b| cos a) = l (ab)

Если l<0

cos (180° - a) = - cos a

3) Если длина |е| = 1, то (le) (me) = lm

Если l и m - одинаковые по знаку

(le) (me) = |le| |me| cos 0° = |l| |e| |m| |e| 1 = |l| |m| = lm

Если l>0, m<0 a = 180°

4) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины ( )

5) или один из векторов =

Дано:

когда хотя бы 1 из множителей равен нулю

;

непосредственная проверка

 

Скалярное произведение векторов (дистрибутивность) координатная форма.

6) Для любых трёх векторов имеет место равенство:

(*) (дистрибутивность)

Доказательство:

1. Если хотя бы 1 из векторов = 0, то равенство очевидно.

2. Допустим, что все векторы отличны от нуля, в процессе доказательства будут использоваться проекции векторов на прямую, содержащую .

Обозначим через - единичный вектор, параллельный прямой, содержащей , тогда ; ;

I. Рассмотрим левую часть (*)

II. Рассмотрим правую часть (*)

В двух предыдущих выкладках получаем одинаковые цифры, значит

Координатная форма скалярного произведения

z

y

x

Пусть в 3-х мерном пространстве задан базис, состоящий из единичных попарно взаимноперпендикулярных векторов

 

 

Пусть заданы 2 произвольных вектора:

;

;

Замечание:

Полученная формула изменилась бы, если бы базисные векторы имели длины, отличные от единицы, или не были бы взаимноперпендикулярные.