Модели сезонных индексов

Данные экономических временных рядов, как правило, включают сезонную составляющую, приводящую к периодическим колебаниям уровней ряда с некоторым периодом. Одна из задач анализа временного ряда — выделение сезонных составляющих и оценка их значимости. В данном разделе для этой цели используется метод, основанный на вычислении индексов сезонности. Модели сезонных индексов выбираются в соответствии со структурой временного ряда, описанной в начале раздела. Если структура временного ряда не включает циклическую составляющую, то спецификацию (6.1)-(6.3) можно записать в виде:

· аддитивная

, (6.6)

· мультипликативная

, (6.7)

·мультипликативно-аддитивная

, (6.8)

где — уровни ряда, — значения тренда, — случайное возмущение, — сезонная составляющая.

Обозначим через p период сезонной составляющей временного ряда, т.е. , для всех t. Обычно, для простоты, предполагают, что рассматриваемый интервал времени, к которому относятся уровни ряда, включает целое число периодов

,

где m – целое положительное число.

Первым этапом алгоритма выделения сезонной составляющей является оценка тренда и удаление оцененных значений тренда из данных временного ряда для каждого сезонаi . Для аддитивной спецификации (6.6) — это переход к разностям

, (6.9)

где — оценка тренда на момент , для мультипликативной спецификации (6.7) — это переход к частным от деления, выраженным в процентах

, , (6.10)

где . Например, если интервал, на котором заданы уровни ряда, равен одному году ( месяцев), периодом является квартал ( месяца), — номер уровня ряда в пределах периода, тогда , и уровнями (6.9) являются разности:

для : ,

для : ,

для : .

Второй этап процедуры выделения сезонных составляющих — вычисление средних сезонных индексов. Отклонения (6.9) рассматриваются как результат влияния сезонных изменений, и, в качестве его оценки используется среднее по выборке

, . (6.11)

Для выборочных данных смешанной (мультипликативно-аддитивной) модели (6.10) оценкой влияния сезонных изменений является статистика вида (сезонный индекс)

, . (6.12)

На третьем этапе выполняется непосредственное удаление сезонных эффектов из уровней ряда (сезонное выравнивание ряда, сезонная декомпозиция):

· для аддитивной модели уровни ряда с учетом сезонной коррекции определяются как разность

, , , (6.13)

где оценка ,вычисленная по формуле (7.11),

· для смешанной модели уровни ряда определяются как частное от деления

, , . (6.14)

где оценка ,вычисленная по формуле (6.12).

Прогнозирование уровней ряда с учетом сезонных колебаний выполняется следующим образом. К значениям прогноза тренда, полученного по свободным от сезонности уровням ряда, в аддитивной модели, добавляются соответствующие сезонные индексы

.

Значения прогнозов уровней ряда для смешанной модели, с учетом сезонной составляющей, вычисляются по формуле

, (6.15)

Пример 6.2.Рассмотрим выделение сезонной составляющей из данных временного ряда сквозного примера, приведенных в таблице 6.2. В качестве модели сезонных индексов выберем аддитивную (амплитуда колебания уровней временного ряда практически не меняется).Оценим трендовую составляющую по всем данным ( ) методом наименьших квадратов:

,,.

Удалим из уровней ряда трендовую составляющую по формуле:

Оцененные уровни тренда и остатков приведены в таблице 6.4

Оценка трендовой составляющей модели. Таблица 6.4.

год	квартал	IP	t
		137,73		139,392	-1,662
		140,21		139,796	0,414
		145,53		140,200	5,330
		154,41		140,604	13,806
		146,07		141,008	5,062
		146,37		141,412	4,958
		148,42		141,816	6,604
		149,4		142,220	7,180
		123,41		142,624	-19,214
		126,5		143,028	-16,528
		134,09		143,431	-9,341
		143,07		143,835	-0,765
		133,2		144,239	-11,039
		135,73		144,643	-8,913
		139,67		145,047	-5,377
		153,49		145,451	8,039
		139,83		145,855	-6,025
		143,89		146,259	-2,369
		147,05		146,663	0,387
		159,11		147,067	12,043
		145,91		147,470	-1,560
		147,07		147,874	-0,804
		151,93		148,278	3,652
		164,08		148,682	15,398
		144,06		149,086	-5,026
		148,1		149,490	-1,390
		152,69		149,894	2,796
		166,12		150,298	15,822
		145,52		150,702	-5,182
		150,76		151,106	-0,346
		154,83		151,509	3,321
		169,7		151,913	17,787
		144,92		152,317	-7,397
		143,33		152,721	-9,391
		148,34		153,125	-4,785
		163,18		153,529	9,651
		143,92		153,933	-10,013
		144,79		154,337	-9,547
		148,12		154,741	-6,621
		166,19		155,145	11,045

Остатки eрассматриваются как результат влияния сезонной составляющей. Усредним остатки по формуле (6.11)

, .

значения суммы и сезонных индексов представлено в таблице 6.5

Оценка сезонной составляющей модели. Таблица 6.5.

	-62,056	-6,206
	-43,915	-4,392
	-4,035	-0,403
	110,006	11,001

Удалим из уровней временного ряда сезонные составляющие и снова оценим тренд:

,,.

Построим прогноз уровней ряда с учетом уточненного тренда и сезонных составляющих (см. табл. 6.5).

Таблица 6.6

Прогнозы индекса на 2017 и 2018 г.г.

В данном примере оценка тренда была выполнена при помощи линейной модели парной регрессии, регрессором которой был выбран номер уровня ряда, и оценки параметров получены методом наименьших квадратов.

Если в уровнях ряда помимо сезонной составляющей присутствует циклическая, то для оценки тренда используют метод скользящих средних (метод сглаживания уровней ряда), основанный на переходе от исходных уровней ряда к их средним значениям. Интервал сглаживания (размер скользящего окна) определяется периодом соответствующих сезонных компонент. Метод полезен и в том случае, если исследуемый ряд имеет тренд неясного характера.

Пример 6.3.Рассмотрим выделение сезонной составляющей из данных временного ряда сквозного примера, приведенных в таблице 6.4. В качестве модели сезонных индексов выберем аддитивную. Оценим трендовую составляющую по всем данным ( ) методом скользящих средних.

Решение.В качестве интервала сглаживания примем год, включающий четыре квартала (размер скользящего окна равен четырем наблюдениям).Просуммируем значения индекса по всем кварталам в рамках каждого года (столбец 4) и разделим на число слагаемых — число кварталов в году (столбец 5). Среднее значение соответствует среднему кварталу в году – третьему. Затем найдем среднее между двумя кварталами, это и будет сглаженный тренд (столбец 6). Результаты представлены в таблице 6.7

Таблица 6.7.

Оценка трендовой составляющей модели.

год	квартал	IP Значение индекса за квартал	Значение индекса за год	Скользящая средняя за 4 квартала	Центрированная скользящая средняя	остатки
		137,73
		140,21
		145,53	577,880	144,470	145,513	0,018
		154,41	586,220	146,555	147,325	7,085
		146,07	592,380	148,095	148,456	-2,386
		146,37	595,270	148,818	148,191	-1,821
		148,42	590,260	147,565	144,733	3,688
		149,4	567,600	141,900	139,416	9,984
		123,41	547,730	136,933	135,141	-11,731
		126,5	533,400	133,350	132,559	-6,059
		134,09	527,070	131,768	132,991	1,099
		143,07	536,860	134,215	135,369	7,701
		133,2	546,090	136,523	137,220	-4,020
		135,73	551,670	137,918	139,220	-3,490
		139,67	562,090	140,523	141,351	-1,681
		153,49	568,720	142,180	143,200	10,290
		139,83	576,880	144,220	145,143	-5,312
		143,89	584,260	146,065	146,768	-2,878
		147,05	589,880	147,470	148,230	-1,180
		159,11	595,960	148,990	149,388	9,723
		145,91	599,140	149,785	150,395	-4,485
		147,07	604,020	151,005	151,626	-4,556
		151,93	608,990	152,248	152,016	-0,086
		164,08	607,140	151,785	151,914	12,166
		144,06	608,170	152,043	152,138	-8,077
		148,1	608,930	152,233	152,488	-4,388
		152,69	610,970	152,743	152,925	-0,235
		166,12	612,430	153,108	153,440	12,680
		145,52	615,090	153,773	154,040	-8,520
		150,76	617,230	154,308	154,755	-3,995
		154,83	620,810	155,203	155,128	-0,297
		169,7	620,210	155,053	154,124	15,576
		144,92	612,780	153,195	152,384	-7,464
		143,33	606,290	151,573	150,758	-7,427
		148,34	599,770	149,943	149,818	-1,477
		163,18	598,770	149,693	149,875	13,305
		143,92	600,230	150,058	150,030	-6,110
		144,79	600,010	150,003	150,379	-5,589
		148,12	603,020	150,755
		166,19

Остатки eрассматриваются как результат влияния сезонной составляющей. Усредним остатки по формуле (6.11)

, .

значения суммы и сезонных индексов представлено в таблице 6.8

Оценка сезонной составляющей модели. Таблица 6.9.

			Скорректированное значение сезонного индекса
	-0,15375	-0,01708	-0,0184
	98,51	10,94556	10,94424
	-58,1063	-6,45625	-6,45757
	-40,2025	-4,46694	-4,46826
S		0,0052

.

Так как сумма значений сезонных индексов в аддитивной модели должна быть равна нулю[18] (сезонные влияния за период взаимопогашаются), выполняется корректировка их значений: индексы суммируются (значение суммы указано в последней строке таблицы), сумма делится на число слагаемых, и, полученный таким образом коэффициент корректировки добавляется к каждому сезонному индексу. Сравнение сезонных индексов при различном оценивании тренда практически совпадают (сравните результаты, приведенные в таблицах 6.9 и 6.5).