Минимальный полином алгебраического элемента.

Введение.

В педагогических вузах введена программа единого курса алгебры и теории чисел. Главная цель этого курса—изучение основных алгебраических систем и воспитание алгебраической культуры, необходимой будущему учителю для глубокого понимания целей и задач как основного школьного курса математики, так и школьных факультативных курсов.

На наш взгляд, наиболее целесообразным является введение в школьное преподавание элементов современной абстрактной алгебры.

Начавшийся в ХХ веке процесс алгебраизации математики не прекращается, а это вызывает упорные попытки введения в школьное математическое образование основных алгебраических понятий.

Математическая глубина и необычайно широкая сфера применения полей сочетаются с простотой ее основных положений – понятий полей, целый ряд важных теорем можно сформулировать и доказать, обладая начальными представлениями в области теории множеств. Поэтому теория полей как нельзя лучше подходит для того, чтобы показать школьникам образец современной математики.

Кроме того, изучение элементов теории поля полезно для школьников, способствует их интеллектуальному росту, проявляющемуся в развитии и обогащении различных сторон их мышления, качеств и черт личности, а также воспитанию у учащихся интереса к математике, к науке.

Простое алгебраическое расширение поля.

Простое расширение поля.

Пусть P[x]— кольцо полиномов от xнад полем P, где P — подполе поля F. Напомним, что элемент a поля Fназывается алгеб­раическим над полем P, если a является корнем какого-нибудь полинома положительной степени из P [x].

Определение. Пусть P < F и a0F. Простым расширением поля P с помощью элемента aназывается наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент a. Простое расширение Pс помощью a обозна­чается через P (a), основное множество поля P (a) обо­значается через Р(a).

Пусть a0F, P [x] — кольцо полиномов от x и

P[x]={f(a)*f0P[x]},

т. е. P[a] есть множество всех выражений вида a ₀ + a ₁ a +...+ a _n a ⁿ , где а₀, a _1, ... a_n0P и n — любое натураль­ное число.

Легко видеть, что алгебра +P[a], +, —, ., 1, — подкольцо поля P (a) — является кольцом; это кольцо обозначается символом P [a].

Теорема 1.1. Пусть P [ x ]— кольцо полиномов от х над P и P ( a )— простое расширение поля P. Пусть y — отображение P [ x ] на P [ a ] такое, что y ( f )= f ( a ) для любого f из P [ x ]. Тогда:

(а) для любого а из Р y (а) = а;

( b ) y ( x ) = a ;

(с) y является гомоморфизмом кольца P [ x ] на кольцо P [ a ];

(d) Ker y ={f 0 P[x] * f( a )=0};

(е) фактор-кольцо P [ x ]/Кег y изоморфно кольцу P [ a ].

Доказательство. Утверждения (а) и (Ь) непосредственно следуют из определения y. Отображение y сохраняет главные операции кольца P [x], так как для любых f и g из P[x]

y (f + g)=f( a )+g( a ), y (fg)= f( a )g( a ), y (1)=1.

Далее, по условию, y есть отображение Р[х]на Р[a].Сле­довательно, y является гомоморфизмом кольца P [x]на кольцо P [a].

Утверждение (d) непосредственно следует из определе­ния отображения y.

Поскольку y — гомоморфизм кольца P [x]на P [a], то фактор-кольцо P[x]/Кег y изоморфно кольцу P [a].

Следствие 1.2. Пусть a — трансцендентный элемент над полем P. Тогда кольцо полиномов P [x] изоморфно кольцу P [a].

Доказательство. В силу трансцендентности a над P Kery={0}. Поэтому P[x]/{0}– P [a].Кроме того, фактор-кольцо кольца P [x]по нулевому идеалу изоморфно P [x]. Следовательно, P [x]– P [a].

Минимальный полином алгебраического элемента.

Пусть P [x]— кольцо полиномов над полем P.

Определение. Пусть a — алгебраический элемент над полем P. Минимальным полиномом элемента a , над P называется нормированный полином из P[ x ] наименьшей степени, корнем которого является a . Степень минимального полинома называется степенью элемента a над P.

Легко видеть, что для всякого элемента a, алгебраического над P , существует минимальный полином.

Предложение 1.3. Если а — алгебраический элемент над полем P, а g и j — его минимальные полиномы над P, то g = j .

Доказательство. Степени минимальных полиномов g и j совпадают. Если g ¹ j, то элемент a (степени n над P) будет корнем полинома g - j, степень которого меньше степени полинома j (меньше n), что невозможно. Следовательно, g=j.

Теорема 1.4. Пусть a — алгебраический элемент степени n над полем P ( a ó P ) и g — его минимальный полином над P. Тогда:

(а) полином g неприводим в кольце P [ x ];

( b ) если f ( a ) = 0, где f 0 P [ x ], то g делит f ;

(с) фактор-кольцо P [ x ]/( g ) изоморфно кольцу P [ a ];

( d ) P [ x ]/( g ) является полем;

(е) кольцо P [ a ] совпадает с полем P ( a ).

Доказательство. Допустим, что полином g приводим в кольце P [x], т. е. существуют в P[x] такие поли­номы j и h , что

g = jh, 1£deg j, deg h<deg g = n.

Тогда g (a) = j(a)h(a) = 0. Так как P (a) — поле, то j( a) = О или h(a) = 0, что невозможно, поскольку, по условию, степень элемента a над Pравна п.

Предположим, что f 0 P[x]и f(a) = 0. По условию, g(a) = 0. Следовательно, f и g не могут быть взаимно про­стыми. Поскольку полином g неприводим, то g делит f.

Пусть j — гомоморфизм кольца P [x]на кольцо P [a] (y(f)=f(a) для всякого f из P[x]), рассмотренный в тео­реме 2.1. В силу (Ь) ядро гомоморфизма y состоит из крат­ных полинома g,т.е. Кег y = (g). Следовательно, фактор-кольцо P = P [x]/(g) изоморфно кольцу P [a].

Поскольку P[a]ÌP(a), то P [a] есть область целост­ности. Так как          P @ P[a], то фактор-кольцо P также есть область целостности. Нам надо показать, что любой ненулевой элемент f из Pобратим в P. Пусть f — элемент смежного класса f. Так как f ¹ 0, то f(a)¹0; поэтому полином g не делит полином f. Поскольку полином g неприводим, отсюда следует, что полиномы f и g — взаимно простые. Следовательно, в Р[x]существуют такие полиномы u и v , что uf + vg =1. Отсюда вытекает равенство uf = 1, показывающее, что элемент f обратим в кольце P. Итак, установлено, что фактор-кольцо Pявляется полем.

В силу (с) и (d) P [a] является полем и поэтому P(a)ÌP[a]. Кроме того, очевидно, P[a]ÌP(a). Значит, P[a] = P(a). Следовательно, кольцо P [a] совпадает с полем P (a).