Сепарабельные и несепарабельные расширения.

Пусть D — поле.

Выясним, может ли неразложимый в D[x] многочлен обладать кратными корнями?

Для того чтобы f(x) обладал кратными корнями, многочлены f ( x ) и f N ( x ) должны иметь общий отличный от константы множитель, который можно вычислить уже в D[x]. Если многочлен f ( x ) неразложим, то ни с каким многочленом меньшей степени f ( x ) не может иметь непостоянных общих множителей, следовательно, должно иметь место равенство f '( x ) = 0.

Положим

                                       _{n                                                           n}           

f(x) =3a_nxⁿ                               f N (x) =3na_nx^n-1

                                       ^{0                                                            1}   

Так как f N ( x ) = О, в нуль должен обращаться каждый коэффициент:

n a _n = 0 ( n = l, 2, ..., n).

В случае характеристики нуль отсюда следует, что a_n = 0 для всех n ¹ 0. Следовательно, непостоянный многочлен не может иметь кратных корней. В случае же характеристики p равенства na_n = 0 возможны и для n ¹ 0, но тогда обязаны выполняться сравнения

nº0(p).

Таким образом, чтобы многочлен f(x) обладал кратными корнями, все его слагаемые должны обращаться в нуль, за исключением тех a_nxⁿ, для которых nº0(p), т. е. f ( x ) должен иметь вид   

                       f(x) = a₀+a_px^p+a_2px^2p+…

Обратно: если f ( x ) имеет такой вид, то f N ( x )=0.

В этом случае мы можем записать:

f(x) = j (x^p).

Тем самым доказано утверждение: В случае характеристики нуль неразложимый в D [ x ] многочлен f ( x ) имеет только простые корни, в случае оке характеристики p многочлен f ( x ) (если он отличен от константы) имеет кратные корни тогда и только тогда, когда его можно представить как многочлен j от x^p .

В последнем случае может оказаться, что j(x) в свою очередь является многочленом от x^p. Тогда f(x) является многочленом от x^p2. Пусть f(x) — многочлен от x^pe

f(x) = y ( x^pe),

но не является многочленом от x^pe+1. Разумеется, многочлен y (у) неразложим. Далее, y¢(у) ¹ 0, потому что иначе y (у) имел бы вид c(у^р) и, следовательно, f ( x ) представлялся бы в виде c(х^pе+1), что противоречит предположению. Следовательно, y (у) имеет только простые корни.

Разложим многочлен y(у) в некотором расширении основного поля на линейные множители:              _m

                                        y (y) = J(y-b_i).

                                                     ¹ 

Тогда

                                                   _m

                                        f(x) = J( x^pe -b_i)

                                                   ¹ 

Пусть a_i— какой-нибудь корень многочлена x^pe - b _i. Тогда x_i^pe = b _i ,

x^pe - b _i = x^pe – a _i ^pe = (x- a _i ) ^pe.

Следовательно, a_i является р^е-кратным корнем многочлена x^pe -b_i и

                                                   _m

                                        f(x) = J( x -a_i) р^е.

                                                   ¹ 

Все корни многочлена f ( x ) имеют, таким образом, одну и ту же кратность р^е.

Степень m многочлена y называется редуцированной степенью многочлена f(x) (или корня a_i); число e называется показателем многочлена f (x) (или корня a_i) над полем D. Между степенью, редуцированной степенью и показателем имеет место соотношение

                                                 n = m р^е,

где m равно числу различных корней многочлена f(x).

Если q — корень неразложимого в кольце D[x] многочлена, обла­дающего лишь простыми корнями, то q называется сепарабельным элементом над D или элементом первого рода над D¹). При этом неразложимый многочлен, все корни которого сепарабельны, назы­вается сепарабельным. В противном случае алгебраический эле­мент q и неразложимый многочлен f(x) называются несепарабельными или элементом (соответственно, многочленом) второго рода. Наконец, алгебраическое расширение S, все элементы которого сепарабельны над D, называется сепарабельным над D, а любое другое алгебраическое расширение называется несепарабельным.

В случае характеристики нуль согласно сказанному выше каждый неразложимый многочлен (а потому и каждое алгебраи­ческое расширение) является сепарабельным. Позднее мы увидим, что большинство наиболее важных и интересных расширений полей сепарабельны и что существуют целые классы полей, вообще не имеющих несепарабельных расширений (так называемые «совер­шенные поля»). По этой причине в дальнейшем все связанное специально с несепарабельными расширениями набрано мелким шрифтом.

Рассмотрим теперь алгебраическое расширение S = D (q). Когда степень n уравнения f(x) = 0, определяющего это расширение, равна степени (S : D), редуцированная степень m оказывается равной числу изоморфизмов поля S в следующем смысле: рассмот­рим лишь такие изоморфизмы S@S', при которых элементы подполя D остаются неподвижными и, следовательно, S перево­дится в эквивалентное поле S' (изоморфизмы поля S над полем D) и при которых поле-образ S' лежит вместе с полем S внутри некоторого общего для них поля W. В этих условиях имеет место теорема:

При подходящем выборе поля W расширение S = D ( q ) имеет ровно m изоморфизмов над D и при любом выборе поля W поле S не может иметь более m таких изоморфизмов.

Доказательство. Каждый изоморфизм над D должен пере­водить элемент q в сопряженный с ним элемент q' из W. Выбе­рем W так, чтобы f(x) разлагался над W на линейные множители; тогда окажется, что элемент q имеет ровно m сопряженных эле­ментов q,q', ... При этом, как бы ни выбиралось поле W, элемент q не будет иметь в нем более m сопряженных. Заметим теперь, что каждый изоморфизм D(q)@D(q') над D полностью определяется заданием соответствия q®q'. Действительно, если q переходит в q' и все элементы из D остаются на месте, то элемент

3a_kq^k        (a_k0D)

должен переходить в

3a_kqN^k

а этим определяется изоморфизм.

В частности, если q — сепарабельный элемент, то m = n и, следо­вательно, число изоморфизмов над основным полем равно степени расширения.

Если имеется какое-то фиксированное поле, содержащее все рассматриваемые поля, в котором содержатся все корни каждого уравнения f(x) = 0 (как, например, в поле комплексных чисел), то в качестве W можно раз и навсегда взять это поле и поэтому отбросить добавление «внутри некоторого W» во всех предложе­ниях об изоморфизмах. Так всегда поступают в теории числовых полей. Позднее мы увидим, что и для абстрактных полей можно построить такое поле W.

Обобщением приведенной выше теоремы служит следующее утверждение:

Если расширение S получается из D последовательным присоединением m

алгебраических элементов a ₁ , ..., a _m , причем каждое из a _i ,- является корнем

неразложимого над D ( a ₁ , ..., a _{i -1} ) уравнения редуцированной степени n ' _i , то

                                           _m

расширение S имеет ровно Õn_i¢ изоморфизмов над D и ни в одном

                                                                       ¹

расширении нет большего числа таких изоморфизмов поля S .

Доказательство. Для m = 1 теорема уже была доказана выше. Предположим ее справедливой для расширения S₁ = D(a₁, ..., a_m-1): в некотором подходящем расширении

                 _m-1

W₁ есть ровно Õ n_i¢ изоморфизмов поля S над D.

                                        ¹                   _m-1

Пусть S₁®S₁— один из этих Õ n_i¢ изоморфизмов. Утверждается, что в подходящим образом выбранном поле W он может быть продолжен до изоморфизма S = S₁ (a_m) @ S= S(a_m) не более чем n¢_m способами.

Элемент a_m удовлетворяет некоторому уравнению f₁(x) = 0 над S₁ с n¢_m раз­личными корнями. С помощью изоморфизма S₁®S₁многочлен f₁(x) перево­дится в некоторый многочлен f₁(x). Но тогда f₁(x) в подходящем расширении имеет опять-таки n¢_m различных корней и не больше. Пусть a_m— один из этих корней. В силу выбора элемента a_m изоморфизм S₁@S₁ продолжается до изоморфизма S (a_m) @ S (a_m) с a_m®a_m одним и только одним способом: действительно, это продолжение задается формулой

åc_ka_m^k ®å c_ka_m^k

Так как выбор элемента a_m может быть осуществлен n'_m способами, существует n'_m продолжений такого сорта для выбранного изоморфизма å₁®å₁

Так как в свою очередь этот изоморфизм может быть выбран 

         _m-1

    Õ n'_i способами,

          ¹

то всего существует (в том поле W, в котором содержатся все корни всех рассматриваемых уравнений)               

                                      _{m-1                m}

                                      Õ n'_i×n'_m = Õ n'_i

                                                              ^{1                     1}

изоморфизмов расширения S над полем D, что и требовалось доказать.

Если n_i — полная (нередуцированная) степень элемента a_i над D (a₁,...,a_i-1), то n_i равно степени расширения D (a₁, ... , a_i) поля D(a₁, ... , a_i-1);

следовательно, степень (S : D) равна

                                                                                            _m

Õ n'_i .

                                                                                            ¹

Если сравнить это число с числом изоморфизмов

                                                         _m

Õ n'_i .

                                                                                            ¹

то получится следующее предложение:

Число изоморфизмов расширения S = D ( a ₁ , ... , a _m ) над D (в некотором подходящем расширении W ) равно степени ( S : D ) тогда и только тогда, когда каждый элемент a _i сепарабелен над полем D ( a ₁ , ... , a _{i -1} ). Если же хотя бы один элемент a _i несепарабелен над соответствующим полем, то число изоморфизмов меньше степени расширения.

Из этой теоремы сразу получается несколько важных следствий. Прежде всего теорема утверждает, что свойство каждого элемента a_i быть сепарабельным над предыдущим полем есть свойство самого расширения S независимо от выбора порождающих элементов a_i. Так как произвольный элемент b поля может быть взят в качестве первого порождающего, элемент b оказывается сепарабельным, если все a_i являются таковыми. Итак:

Если к полю D последовательно присоединяются элементы a_i, ... ,a_n и каждый элемент a_i оказывается сепарабельным над полем, полученным присоеди­нением предыдущих элементов a_1, a₂ ,…,a_i-1 то расширение

S = D(a₁, ... ,a_n)

сепарабельно над D.

В частности, сумма, разность, произведение и частное сепарабедьных элементов сепарабельны.

Далее, если b сепарабелен над S, а поле S сепарабельно над D, то эле­мент b сепарабелен над D. Это объясняется тем, что b удовлетворяет некото­рому уравнению с конечным числом коэффициентов a₁, ... ,a_m из S и, сле­довательно, сепарабелен над D (a₁, ... ,a_m). Тем самым сепарабельно и расширение

D (a₁,..., a_m, b).

Наконец, имеет место следующее предложение: числа изоморфизмов конечного сепарабельного расширения S над полем D равно степени расширения (S : D).