Алгебраически замкнутые поля

Среди алгебраических расширений заданного поля важную роль играют, конечно, максимальные алгебраические расширения, т. е. такие, которые не допускают дальнейшего алгебраического расширения. Существование таких расширений будет доказано в настоящем параграфе.

Чтобы поле W было максимальным алгебраическим расшире­нием, необходимо следующее условие: каждый многочлен кольца W[x]полностью разлагается на линейные множители. Это условие является и достаточным. Действительно, если каждый многочлен в W[x]разлагается на линейные множи­тели, то все простые многочлены в W[x]линейны и каждый эле­мент любого алгебраического расширения W' поля W оказывается корнем некоторого линейного многочлена x — a в W[x],т. е. совпадает с некоторым элементом a поля W.

Поэтому дадим следующее определение:

Поле W называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен в W [ x ] разлагается на линейные множители.

Равнозначное с этим определение таково: поле W , алгебраически замкнуто, если каждый отличный от константы многочлен из W [ x ] обладает в W хоть одним корнем, т. е. хоть одним линейным множителем в W [ x ].

Действительно, если такое условие выполнено и произвольно взятый многочлен f ( x ) разлагается на неразложимые множители, то все они должны быть линейными.

«Основная теорема алгебры» утверждает, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Следующим примером алгебраически замкнутого поля может служить поле всех комплексных алгебраических чисел, т. е. множе­ство тех комплексных чисел, которые удовлетворяют какому-либо уравнению с рациональными коэффициентами. Комплексные корни уравнения с алгебраическими коэффициентами являются и в самом деле алгебраическими не только над полем алгебраических чисел, но и над полем рациональных чисел, т. е. сами являются алгебра­ическими числами.

Здесь мы покажем, как построить алгебраически замкнутое расширение произвольно заданного поля P и притом чисто алгебраическим путем. Штейницу принадлежит следующая

Основная теорема. Для каждого поля P существует алгебраически замкнутое алгебраическое расширение W . С точностью до эквивалентности это расширение определено однозначно: любые два алгебраически замкнутых алгебраических расширения W, W ' поля P эквивалентны.

Доказательству этой теоремы мы должны предпослать несколько лемм:

Лемма 1. Пусть W , — алгебраическое расширение поля Р. Достаточным условием для того, чтобы W было алгебраически замкнутым, является разложение на линейные множители любого многочлена из P[x] в кольце W[x].

Доказательство. Пусть f ( x ) — произвольный многочлен из W[x]. Если он не разлагается на линейные множители, то можно присоединить некоторый его корень a и прийти к собст­венному надполю W'. Элемент a является алгебраическим над W, а W является алгебраическим расширением поля P; следовательно, элемент a алгебраичен и над Р. Поэтому он является корнем некоторого многочлена g ( x ) из P[x].Этот многочлен разлагается в W[x]на линейные множители. Следовательно, a —корень неко­торого линейного множителя в W[x],т. е. принадлежит полю W, что противоречит предположению.

Лемма 2. Если поле P вполне упорядочено, то кольцо много­членов P[x] может быть вполне упорядочено и притом так, что в этом упорядочении поле P будет отрезком.

Доказательство. Определим отношение порядка между многочленами f(x) из P[x]следующим образом: пусть f ( x )< g ( x ),когда выполнено одно из условий:

1) степень f ( x ) меньше степени g ( x );

2) степень f ( x ) равна степени g ( x ) и равна n , т. е.

f ( x ) = а₀х ⁿ + ...+ а _n , g ( x ) = b ₀ х ⁿ + ... + b_n

и при некотором индексе k : 

а _i = b_i для i<k,

 a_k < b_k, в смысле упорядочения поля Р.

При этом для многочлена 0 делается исключение: ему присваи­вается степень 0. Очевидно, что таким способом получается неко­торое упорядочение, в смысле которого P[x] вполне упорядочено. Показывается это так: в каждом непустом множестве многочле­нов есть непустое подмножество многочленов наименьшей степени; пусть таковая равна п. В этом подмножестве есть непустое под­множество многочленов, коэффициент а₀ которых является первым в смысле имеющегося порядка среди свободных членов рассматривае­мых многочленов; в указанном подмножестве есть в свою очередь подмножество многочленов с первым а₁ и т. д. Подмножество с первым а _n которое в конце концов получится, может состоять лишь из одного-единственного многочлена (так как а₀, ..., а _n определяются однозначно благодаряпоследовательно выполняе­мому условию минимальности в выборе); этот многочлен является первым элементом в заданном множестве.

Лемма 3. Если поле P вполне упорядочено и заданы многочлен f ( x ) степени n и n символов a₁ ..., a _n  то поле P ( a ₁ ,..., a _n ), в котором f ( x ) полностью разлагается на линейные множители

 _n

Õ( x - a _i ), строится единственным образом и является вполне

 ¹

упорядоченным. Поле P в смысле этого порядка является отрезком.

 Доказательство. Мы будем присоединять корни a₁ ..., a _n  последовательно, вследствие чего из P = Р₀ последовательно будут возникать поля Р₁, ..., Р_n. Предположим, что Р _{i -1} = P(a₁ ..., a_i-1) — уже построенное поле и что P — отрезок в Р_i-1; тогда Р_i будет строиться так.

Прежде всего в силу леммы 2 кольцо многочленов Р_i-1 [x] вполне упорядочивается. Многочлен f разлагается в этом кольце на неразложимые множители, среди которых на первом месте будут стоять x - a ₁,..., x - a _{i -1}; среди остальных множителейпусть f_i ( x ) будет первым в смысле имеющегося порядка. Вместе с символом a_i обозначающим корень многочлена f_i ( x ) , мы опре­деляем поле Р_i= P_i-1 как совокупность всех сумм

                                                     _h-1

                                                     å c _l a ^l _i

                                                                                      ⁰

где h —степень многочлена f_i ( x ). Если f_i ( x ) линеен, то, конечно, мы полагаем Р_i= P_i-1; символ a _i в этом случае не нужен. По­строенное поле вполне упорядочивается с помощью следующего условия: каждому элементу поля 

                                                                                      _h-1

                                                     å c _l a ^l _i

                                                                                       ⁰

сопоставим многочлен

                                                                                      _h-1

                                                     å c_lx^l_i

                                                                                       ⁰

 и элементы поля упорядочим точно так же, как упорядочены соответствующие им многочлены.

Очевидно, тогда Р_i-1 является отрезком в Р_i, а потому и P — отрезок в Р_i.

Тем самым поля Р₁ ,..., Р_n построены н вполне упорядочены. Поле Р_n является искомым однозначно определенным полем P(a ₁ ,..., a _n).

Лемма 4. Если в упорядоченном множестве полей каждое предшествующее поле является подполем последующего, то объеди­нение этих полей является полем.

Доказательство. Для любых двух элементов a, b объединения существуют два поля S_a, S_b, которые содержат a, и b и из которых одно предшествует другому. В объемлющем поле опре­делены элементы a + b и a×b и именно так определяются эти элементы в каждом из полей, содержащих a и b, потому что из любых двух таких полей одно предшествует другому и явля­ется его подполем. Например, чтобы доказать закон ассоциатив­ности

ab • g = a • bg,

найдем среди полей S_a, Sb, S_g то, которое содержит два дру­гих поля (наибольшее); в этом поле содержатся a, b и g и в нем закон ассоциативности выполнен. Тем же способом проверяются все остальные правила вычислений с элементами объединения.

Доказательство основной теоремы распадается на две части: построение поля W и доказательство единственности.

Построение поля W .. Лемма 1 свидетельствует о том, что для построения алгебраически замкнутого расширения W поля P достаточно построить такое алгебраическое расширение поля Р, чтобы каждый многочлен из Р[x]разлагался над этим расшире­нием на линейные множители.

Будем считать, что поле Р, а потому и кольцо многочленов P[x], вполне упорядочены. Каждому многочлену f ( x ) сопоставим столько новых символов a ₁ ,..., a _n какова его степень.

Далее, каждому многочлену f ( x ) сопоставим два вполне упо­рядоченных поля Р_f, S_f, которые определяются следующим рекур­рентным способом.

1. Поле Р_f является объединением поля Р и всех полей S_g  для g < f.

2. Поле Р_f вполне упорядочивается так, чтобы Р и все поля S_g при g < f были отрезками в Р_f

3. Поле S_f получается из Р_f присоединением всех корней многочлена f с помощью символов a ₁ ,..., a _n в соответствии с лем­мой 3.

Нужно доказать, что таким способом действительно одно­значно определяются вполне упорядоченные поля Р_f , S_f, если только уже определены все предыдущие Р_g, S_g перечисленным выше требованиям.

Если выполнено требование 3, то прежде всего Р_f— отрезок в S_f. Из этого и из требования 2 следует, что поле Р и каждое поле S_g ( g < f ) являются отрезками в S_f. Предположим, что рассматриваемые требования выполнены для всех предыдущих индексов f, так что

                         Р — отрезок в S_h                         при h < f,

S_g — отрезок в S_h                    при g < h < f .

Отсюда следует, что поле Р и поля S_h (h < f) составляют множество того типа, о котором говорит лемма 4. Следовательно, объединение этих полей снова является полем, которое в соот­ветствии с требованием 1 мы должны обозначить через Р_f . Струк­тура вполне упорядоченного поля на Р_f однозначно определяется требованием 2, потому что любые два элемента а, b из Р_f, при­надлежат одному из полей Р или S_g  и поэтому связаны отноше­нием a < b или а> b , которое должно сохраняться в Р_f. Эго отношение порядка является одним и тем же во всех полях Р или S_g, которые содержат как а, так и b , потому что все эти поля являются отрезками друг друга. Итак, отношение порядка определено. То, что оно определяет вполне упорядоченное мно­жество, очевидно, так как каждое непустое множество x в Р_f  содержит по меньшей мере один элемент из Р или из некоторого поля S_g, а потому и первый элемент из x Ç Р или из x Ç S_g. Этот элемент одновременно является и первым элементом в x.

Таким образом, поле Р_f вполне упорядочивается с помощью требовании 1 и 2. Так как поле S_f, однозначно определяется требованием 3, поля Р_f иS_f построены.

В силу условия 3 многочлен f ( x ) полностью разлагается на линейные множители в поле S_f. Далее, с помощью трансфинитной индукции показывается, что S_f является алгебраическим над Р. Действительно, предположим, что все поля S_g ( g < f ) уже алгебраические. Тогда и их объединение с полем Р, т.е. поле Р_f, алгебраическое. Далее, поле S_f  в силу условия 3 алгебраично над Р_f, а потому алгебраичнои над Р.

Составим теперь объединение W всех полей S_f ; согласно лемме 4 оно является полем. Это поле алгебраично над Р и над ним раз­лагаются все многочлены f (так как каждый многочлен f разла­гается уже над S_f). Следовательно, поле W алгебраически замкну­то (лемма 1).

Единственность поля W . Пусть W и W'— два поля, являющиеся алгебраическими и алгебраически замкнутыми рас­ширениями поля Р. Докажем эквивалентность этих полей. Для этого будем считать, что оба поля вполне упорядочены. Построим для каждого отрезка  из W (само поле W также считается од­ним из таких отрезков) подмножество ¢ в W' и некоторый изо­морфизм

P(Â) @ Р(¢).

Последний должен удовлетворять следующим рекуррентным соот­ношениям.

1. Изоморфизм P(Â) @ Р(¢) должен оставлять каждый эле­мент поля Р на месте.

2. Изоморфизм P(Â) @ Р(¢) при ÁÌ Â должен быть про­должением изоморфизма Р(Á) @Р(Á').

3. Если Â обладает последним элементом a, так что Â = ÁÈ{a}, и если а — корень неразложимого в Р (Á) многочлена f ( x ) , то элемент а' должен быть первым корнем соответствующего в силу Р(Á) @Р(Á'), многочлена f ¢ ( x ) во вполне упорядоченном поле W'.

Нужно показать, что этими тремя требованиями действительно определяется изоморфизм P(Â) @ Р(¢), если только он уже оп­ределен для всех предыдущих отрезков ÁÌ Â. Здесь необходимо различать два случая.

Первый случай. Множество  не имеет последнего элемента. Тогда каждый элемент а принадлежит некоторому предыдущему отрезку Á; поэтому  является объединением отрезков Á, а по­тому Р(Â) — объединением полей Р(Á) для ÁÌ Â. Так как каж­дый из изоморфизмов Р(Á) @Р(Á') является продолжением всех предыдущих, то каждому элементу a при всех этих изоморфизмах сопоставляется лишь один элемент a'. Поэтому существует одно и только одно отображение P(Â) → Р(¢), продолжающее все предыдущие изоморфизмы Р(Á)→ Р(Á'), а именно —отображение a®a'. Очевидно, оно является изоморфизмом и удовлетворяет требованиям 1 и 2.

Второй случай. Множество  имеет последний элемент а; сле­довательно,  =ÁÈ{а}. Вследствие требования 3 элемент а', со­поставляемый элементу а, однозначно определен. Так как а' над полем Р(Á') (в смысле рассматриваемого изоморфизма) удовлетво­ряет «тому же» неразложимому уравнению, что и а над Р(Á), то изоморфизм Р(Á)→Р(Á') (и в том случае, когда Á пусто, т. е. тождественный изоморфизм Р®Р) продолжается до изоморфизма Р(Á, a) ®Р(Á', a¢), при котором а переходит в а'. Каждым из приведенных выше требований этот изоморфизм определен однозначно, потому что каждая рациональная функция j(а) с коэффициентами из  обязательно переходит в функцию j'(а') с соответствующими коэффициентами из Á'. То, что так определенный изоморфизм P(Â) ® Р(¢) удовлетворяет требованиям 1 и 2, очевидно.

Тем самым построение изоморфизма P(Â)→Р(¢) завершено. Обозначим через W" объединение всех полей Р(¢); тогда существует изоморфизм Р(W)®W" или W®W", оставляющий на месте каждый элемент поля Р. Так как поле W алгебраически замкнуто, таким же должно быть и W", а потому W" совпадает со всем полем W¢. Отсюда следует эквивалентность полей W и W¢.

Значение алгебраически замкнутого расширения данного поля состоит в том, что с точностью до эквивалентности оно содержит все возможные алгебраические расширения этого поля. Точнее:

Если W  — алгебраически замкнутое алгебраическое расширение поля Р и S— произвольное алгебраическое расширение поля Р, то внутри W существует расширение S₀, эквивалентное расширению S.

Доказательство. Продолжим S до некоторого алгебраи­чески замкнутого алгебраического расширения W'. Оно будет алгебраическим и над Р, а потому эквивалентным расширению W. При каком-то изоморфизме, переводящем W' в W и сохраняющем неподвижным каждый элемент из Р, поле S переходит в некоторое эквивалентное ему подполе S₀  в W.