Логические константы и переменные. Логические операции. Логические элементы

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ УСТРОЙСТВ

Системы счисления

Каждое число состоит из цифр. Способ записи чисел цифровыми знаками называется системой счисления. В настоящее время используются только позиционные системы счисления, в которых значение каждой входящей в число цифры зависит от её положения в записи числа. Количество различных цифр, применяемых в позиционной системе, называют основанием системы. В зависимости от основания системы счисления могут быть десятичными – с основанием 10, двоичными – с основанием 2 и др. Коды натурального ряда чисел в различных системах счисления представлены в таблице 1.

Таблица 1 – Коды чисел

Десятичный	Двоичный	Восьмеричный	Двоично-десятичный	Шестнадцати-ричный
0	0	0	0000	0
1	1	1	0001	1
2	10	2	0010	2
3	11	3	0011	3
4	100	4	0100	4
5	101	5	0101	5
6	110	6	0110	6
7	111	7	0111	7
8	1000	10	1000	8
9	1001	11	1001	9
10	1010	12	0001 0000	A
11	1011	13	0001 0001	B
12	1100	14	0001 0010	C
13	1101	15	0001 0011	D
14	1110	16	0001 0100	E
15	1111	17	0001 0101	F
16	10000	20	0001 0110	10
17	10001	21	0001 0111	11
18	10010	22	0001 1000	12
19	10011	23	0001 1001	13
20	10100	24	0010 0000	14
21	10101	25	0010 0001	15
22	10110	26	0010 0010	16
23	10111	27	0010 0011	17
24	11000	30	0010 0100	18
25	11001	31	0010 0101	19
26	11010	32	0010 0110	1A
27	11011	33	0010 0111	1B
28	11100	34	0010 1000	1C
29	11101	35	0010 1001	1D
30	11110	36	0011 0000	1E
31	11111	37	0011 0001	1F
32	100000	40	0011 0010	20

 

Восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления применяют при программировании для более удобной и короткой записи двоичных кодов команд. Для перевода чисел из этих систем счисления в двоичную систему не требуется специальных операций. Так как 8 = 2³, а 16 = 2⁴, то один разряд числа, записанного в восьмеричной системе счисления, преобразуется в три разряда, а один разряд числа, записанного в шестнадцатеричной системе счисления, преобразуется в четыре разряда числа двоичной системы счисления и наоборот.

Двоично-десятичную систему строят по принципу шестнадцатиричной, то есть один разряд числа, записанного в десятичной системе, преобразуется в четыре разряда числа двоичной системы счисления и наоборот. При этом используется неполный набор четырёхразрядного двоичного кода, поскольку 10 < 2⁴. Такая система применяется для построения схем дискретных устройств по принципу разрядных декад, с выходов которых сигналы можно сразу подавать на устройства индикации.

 

Дискретные сигналы

Алфавит дискретных устройств содержит только два знака: 0 (ноль) и 1 (единица). Объём двоичного алфавита определяет объём информации, выражаемый одним символом. В общем виде информацию измеряют в битах и определяют по формуле

,                                                   (1.1)

где n – число равновероятных исходов в событии, описываемом дискретным сигналом.

Так как для дискретного сигнала n = 2, то бит – это объём информации, передаваемый одним двоичным символом. Восемь бит образуют один байт, то есть в одном байте восемь двоичных разрядов. Кодовое слово, применяемое в алгоритмах обмена информацией в вычислительной технике, содержит четыре байта (32 двоичных разряда) или восемь байт (64 двоичных разряда). Эквивалент кодового слова из 32 единиц двоичной системы счисления в десятичной системе счисления – 4 294 967 296.

Значениям знаков 0 и 1 могут быть поставлены в соответствие различные характеристики токов или напряжений. Например, при потенциальном способе это могут быть их некоторые установившиеся значения: высокий уровень напряжения – логическая единица, низкий уровень – логический ноль. Временная диаграмма такого дискретного сигнала представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 – Временная диаграмма дискретного сигнала

 

Преимущества дискретного сигнала: малое потребление мощности от источника питания в статическом режиме:

насыщение          ;

отсечка                

и высокая помехозащищённость: амплитуда помехи U_{m.помехи} может достигать половины величины напряжения сигнала логической единицы U₍₁₎, не вызывая ошибки определения значения сигнала.

 

Логические константы и переменные. Логические операции. Логические элементы

Для описания алгоритмов работы дискретных устройств необходим соответствующий математический аппарат. Такой математический аппарат в XIX веке разработал ирландский математик Джон Буль, и теперь его называют булевой алгеброй (алгеброй логики). Булева алгебра оперирует двумя понятиями: событие истинно (логическая единица – лог. 1) или событие ложно (логический нуль – лог. 0). Эти два понятия называются константами алгебры логики.

Логические переменные могут принимать одно из двух значений констант:

х = 0, если       х ¹ 1;

х = 1, если       х ¹ 0.

Над логическими константами и переменными можно совершать логические операции: логическое сложение, логическое умножение и отрицание (инверсию).

Логическое сложение: операция ИЛИ (дизъюнкция). Правило логического сложения для двух переменных представлено в таблице 2.

 

Таблица 2 – Правило операции логического сложения

Х1	Х0	Х1 + Х0 (Х1 V X0)
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

 

Операция логического сложения справедлива для любого числа переменных и соответствует математической операции объединения множеств. Число переменных, над которыми проводится операция, обозначается цифрой, стоящей перед обозначением операции. Для данного примера получаем запись 2ИЛИ.

Логическое умножение: операция И (конъюнкция). Правило логического умножения для двух переменных представлено в таблице 3.

 

Таблица 3 – Правило операции логического умножения

Х1	Х0	Х1 × Х0 (Х1 L X0)
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

 

Операция логического умножения также справедлива для любого числа переменных и соответствует математической операции пересечения множеств. Число переменных, над которыми проводится операция, также обозначается цифрой, стоящей перед обозначением операции. Для данного примера получаем запись 2И.

Отрицание (инверсия): операция НЕ. Операция обозначается горизонтальной чертой над переменной (или над выражением, содержащим несколько переменных) и определяется правилом:

если ,    то ;

если ,   то .

Логические элементы. В соответствии с перечнем логических операций различают три основных логических элемента (ЛЭ): И, ИЛИ, НЕ. Условные графические обозначения логических элементов представлены на рисунке 2.

 

Рисунок 2 – Условные графические обозначения логических элементов

 

Число входов элементов И и ИЛИ может быть произвольным. Элемент НЕ всегда имеет только один вход.