Принцип двойственности

Принцип двойственности – это свойство взаимного преобразования операций логического сложения и логического умножения. Для доказательства принципа двойственности сравним таблицы истинности операций:

Логическое сложение ИЛИ	Логическое умножение И
Х1 Х0 Х1 + Х0 (Х1 V X0) 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1	Х1 Х0 Х1 × Х0 (Х1 L X0) 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

 

Если в логическом сложении значения всех переменных и самой функции заменить их инверсией, то можно получить логическое умножение. Пример такого преобразования представлен в таблице 5. Аналогичный пример можно представить и для логического умножения (таблица 6).

 

Таблица 5 – Преобразование логической операции ИЛИ

Х1	Х0
0	0	1	1	1	0
0	1	1	0	1	0
1	0	0	1	1	0
1	1	0	0	0	1

 

Таблица 6 – Преобразование логической операции И

Х1	Х0
0	0	1	1	1	0
0	1	1	0	0	1
1	0	0	1	0	1
1	1	0	0	0	1

 

Следовательно, принцип двойственности можно описать следующими выражениями:

                                                    (1.4)

Практическим следствием принципа двойственности является тот факт, что при записи логических выражений и построении логических схем можно обойтись только двумя типами операций: только операциями И и НЕ или только операциями ИЛИ и НЕ.

Введём понятие функционально полной системы ЛЭ. Функционально полной системой называется совокупность ЛЭ, позволяющая реализовать логическую схему произвольной сложности. Функционально полной системой является набор операций И, ИЛИ, НЕ. Функционально полными (по принципу двойственности) будут системы с набором операций И, НЕ и ИЛИ, НЕ. Эти операции объединяют в одном логическом элементе. Элемент И-НЕ называется штрих Шеффера, а элемент ИЛИ-НЕ – стрелка Пирса. Условные графические обозначения этих элементов представлены на рисунке 6.

 

Рисунок 6 – Условные графические обозначения элементов И-НЕ и ИЛИ-НЕ

 

Рассмотрим пример реализации основных логических операций на базе элементов 2И-НЕ (рисунок 7).

 

Рисунок 7 – Пример реализации основных логических операций на базе элементов 2И-НЕ

 

На элементах И-НЕ логическая операция И получается с помощью двух элементов. Сначала производится логическое умножение с инверсией, получается . Затем полученный результат ещё раз инвертируется .

Логическая операция ИЛИ на элементах И-НЕ реализуется по принципу двойственности. Сначала входные переменные инвертируются. Инверсные значения на элементе И-НЕ складываются и дополнительно инвертируются (1.4), получается . Инверсия одной входной переменной получается при объединении входов элемента 2И-НЕ. Следует отметить, что число входов логического элемента И-НЕ может быть произвольным.

Аналогичные рассуждения можно применить к логическому элементу 2ИЛИ-НЕ (рисунок 8).

Рисунок 8 – Пример реализации основных логических операций на базе элементов 2ИЛИ-НЕ

 

Логическая операция И на элементах ИЛИ-НЕ реализуется по принципу двойственности, логическая операция ИЛИ на элементах ИЛИ-НЕ получается с помощью двух элементов, а инверсия одной входной переменной получается при объединении входов элемента 2ИЛИ-НЕ.

Рисунок 9 – Структурная схема логического устройства, построенная на элементах ИЛИ-НЕ

 

В качестве примера реализации логического устройства на элементах ИЛИ-НЕ рассмотрим структурную схему, составленную по КНФ. В схеме для реализации операции инвертирования применены элементы 2ИЛИ-НЕ, для получения элементарных логических сумм элементы 3ИЛИ-НЕ, а для логического перемножения по принципу двойственности - элемент 4ИЛИ-НЕ. Схема представлена на рисунке 9.