Представления конечных групп

Содержание

Основные обозначения

Введение

1. Представления конечных групп

Представления групп

Представления унитарными матрицами и полная приводимость представлений конечных групп

Лемма Шура

Соотношения ортогональности для характеров

Индуцированные представления

Произведение представлений

Заключение

Список использованных источников

 

 

Основные обозначения

 

– группа

– порядок группы

– единичный элемент группы

– единичная подгруппа, единичная группа

– множество всех простых делителей натурального числа

– множество всех простых делителей порядка группы

– центр группы

– подгруппа Фиттинга группы

– подгруппа Фраттини группы

– коммутант группы

– централизатор подгруппы  в группе

– нормализатор подгруппы  в группе

– группа всех автоморфизмов группы

– группа всех внутренних автоморфизмов группы

-  является подгруппой группы

–  является собственной подгруппой группы

–  является максимальной подгруппой группы

–  является нормальной подгруппой

–  является субнормальной подгруппой группы

–  является минимальной нормальной подгруппой группы

– индекс подгруппы  в группе

– прямое произведение подгрупп  и

– полупрямое произведение нормальной подгруппы  и подгруппы

 

 

Введение

 

В данной работе приведены доказательства следующих теорем:

Теорема. Непустое подмножество  группы  будет подгруппой тогда и только тогда, когда  и  для всех .

Группой называется непустое множество  с бинарной алгебраической операцией (умножением), которая удовлетворяет следующим требованием:

1) операция определена на , т.е.  для всех ;

2) операция ассоциативна, т.е.  для любых ;

3) в  существует единичный элемент, т.е. такой элемент , что  для всех , что  для всех ;

4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого  существует такой элемент , что .

Более кратко: полугруппа с единицей, в которой каждый элемент обладает обратным, называется группой.

Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой. Если  – конечное множество, являющиеся группой, то  называют конечной группой, а число  элементов в  – порядком группы .

Подмножество  группы  называется подгруппой, если  – группа относительно той же операции, которая определена на . Запись  означает, что – подгруппа группы , а  – что – собственная подгруппа группы , т.е.  и .

Централизатор. Пусть  – непустое подмножество группы . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом множества , называется централизатором множества  в группе  и обозначается через .

Лемма

1. Если  – подмножество группы , то централизатор  является подгруппой.

2. Если  и  – подмножество группы  и , то

3. Если  – подмножество группы  и , то

Центр группы. Центром группы  называется совокупность всех элементов из , перестановочных с каждым элементом группы. Центр обозначается через . Ясно, что , т.е. центр группы  совпадает с централизатором подмножества  в группе . Кроме того, .

Зафиксируем в группе  элемент . Пересечение всех подгрупп группы , содержащих элемент , назовем циклической подгруппой, порожденной элементом , и обозначим через .

Теорема. Циклическая подгрупппа , порожденная элементом , состоит из всевозможных целых степеней элемента , т.е.

Следствие. Циклическая подгруппа абелева.

Порядок элемента. Пусть  – элемент группы . Если все степени элемента  различны, т.е.  для всех целых , то говорят, что элемента  имеет бесконечный порядок.

Нормализатор. Если  – непустое подмножество группы  и  то  и  Элемент  называется перестановочным с подмножеством , если . Равенство  означает, что для любого элемента  существует такой элемент , что . Если элемент  перестановочен с подмножеством , то  и . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с подмножеством , называется нормализатором подмножества  в группе  и обозначается через . Итак,

Лемма. Пусть  – непустое подмножество группы ,  – произвольный элемент группы . Тогда:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) если  – подгруппа группы , то

Подгруппа  называется нормальной подгруппой группы , если  для всех . Запись  читается: »  – нормальная подгруппа группы «. Равенство  означает, что для любого элемента  существует элемент  такой, что .

Теорема. Для подгруппы  группы  следующие утверждения эквивалентны:

1)  – нормальная подгруппа;

2) подгруппа  вместе с каждым своим элементом содержит все ему сопряженные элементы, т.е.  для всех ;

3) подгруппа  совпадает с каждой своей сопряженной подгруппой, т.е.  для всех .

Лемма. Пусть  – подгруппа группы . Тогда:

1) ;

2) если  и , то ;

3)  – наибольшая подгруппа группы , в которой  нормальна;

4) если , то . Обратно, если , то ;

5)  для любого непустого подмножества  группы .

Простая группа. В каждой группе  тривиальные подгруппы (единичная подгруппа  и сама группа ) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе  нет других нормальных подгрупп, то группа  называется простой. Единичную группу  считают непростой.

 

 

Представления конечных групп

 

Представления групп

 

Пусть  – группа всех невырожденных матриц порядка  над полем  комплексных чисел. Если  – произвольная группа, то ее (матричным) представлением называется любой ее гомоморфизм в

 

G ,

 

такой, что

 

,

 

 (единичная матрица),

. Число n называется степенью этого представления. Если гомоморфизм A иньективен, то представление называется точным.

Пример 1.1 Отображение, переводящее каждый элемент группы  в , является представлением степени . Оно называется тождественным представлением группы  и обозначается через .

Пример 1.2 Если  – некоторое представление группы , то для каждой невырожденной матрицы  отображение  также является представлением этой группы.

Пусть  и  – два представления группы . Если существует невырожденная матрица , такая, что что

,

то представления  и  называются эквивалентными. Тот факт, что представления  и  эквивалентны, мы будем обозначать так: . Отношение  определяет классы эквивалентных представлений группы .

Пример 1.3. Пусть  – симметрическая группа степени . Для элемента

 

 

через  обозначим матрицу,  строка которой имеет вид , где 1 стоит на  месте. Другими словами,

 

 

где

 

 

Такое отображение  является точным представлением группы .

1.4. Пусть –конечная группа, состоящая из элементов  и пусть – симметрическая группа на . Отображение, которое ставит в соответствие элементу  подстановку

является инъективным гомоморфизмом группы  в . С такой подстановкой  мы свяжем матрицу

 

 

где, как и в примере ,

 

 

Тогда отображение  является точным представлением группы . Оно называется правым регулярным представлением этой группы. Определим  следующим образом:

 

 

Тогда

 

 

и, если , то каждый диагональный элемент равен нулю.

регулярное представление группы  определяется аналогично с использованием гомоморфизма

 

 

Другими словами,

 

Пусть  – некоторый гомоморфизм из  в , т.е. подстановочное представление группы . Представив подстановку  в виде матрицы , как это сделано в примере 1.3, мы получим представление

Пусть  – представление степени . Говорят, что  приводимо, если существует такая невырожденная матрица , что

 

 

где  и  – квадратные матрицы порядка  и  соответственно, причем  Отметим, что представления

 

 

эквивалентны, поскольку для матрицы

 

Скажем, что представление  неприводимо, если оно не является приводимым. Отметим, что в (1.3) отображения  и  являются представлении степеней  и  соответственно.

Для заданных представлений  и  группы  степеней  и  соответственно отображение

 

 

является представление степени  этой группы. Такое, представление называется прямой суммой представлений  и  и обозначается через .

Представление  группы  называется вполне приводимым, если оно эквивалентно прямой сумме некоторых неприводимых представлений, т.е. если найдется невырожденная матрица , такая, что

 

 

где каждое  является неприводимым представлением группы .