Соотношения ортогональности для характеров

Ниже везде предполагается, что рассматриваемые группы конечны.

Характеры. Для квадратной матрицы  порядка  обозначим через  ее след, т.е.

Путем прямых вычислений доказывается следующая

Лемма 4.1.

 

 для произвольной квадратной матрицы .

 

Для представления  группы  положим  Тогда  – функция, принимающая значения в множестве  и называемая характером представления . Очевидно, что  равно степени представления . Характеры неприводимых представлений называются неприводимыми характерами. Из леммы 4.1 (2) вытекает следующая

Лемма 4.2. Эквивалентные представления имеют один и тот же характер.

Поскольку , имеет место равенство . Таким образом,  принимает одно и то же значение на всем классе сопряженных элементов группы . Такие функции называются функциями классов.

Первое соотношение ортогональности для характеров. Пусть  – группа порядка , а  и  – ее неприводимые представления степеней  и  соответственно. Для произвольной  – матрицы  пусть

 

 

Тогда, положив , получаем

 

 

Поскольку , как и , пробегает группу , то

 

 

Предположим, что  и  неэквивалентны. Тогда в силу леммы Шура . Отсюда для -го элемента матрицы  получаем

 

 

В частности, если взять  для некоторой пары  и  в остальных случаях, то

 

 

Пусть теперь . Тогда в силу теоремы 3.2  для некоторого . При этом -ый элемент матрицы  равен

 

где  и  для . Вычислив след матрицы

 

 

мы получаем  (здесь  – степень представления ), откуда

 

 

Пусть  для некоторой пары  и , если  или . Тогда

 

 

Тем самым мы получаем следующее утверждение.

Теорема 4.3. Пусть – группа порядка g.

(1) Пусть  – неприводимое представление группы  степени . Тогда

 

 

(2) Пусть  – неприводимое представление, не эквивалентное представлению . Тогда

 

Пусть  – характеры представлений  и . Положив в предыдущей теореме  и просуммировав по , мы получаем теорему.

Теорема 4.4. (Первое соотношение ортогональности для характеров.) Пусть  – группа порядка g.

(1) Если  – неприводимый характер группы , то

 

 

(2) Если  – характеры неэквивалентных неприводимых представлений группы , то

 

 

Отметим, что  для всех , поскольку теорема 2.3 утверждает, что  эквивалентно некоторому унитарному представлению  и потому

Пусть  – представители классов эквивалентности неприводимых представлений группы  и  – характеры представлений . Обозначим через  классы сопряженных элементов группы , причем , и пусть  – представители этих классов. Поскольку характеры – это функции классов, теорема 4.4 может быть переписана в следующем виде.

Теорема .

Для функций , определенных на группе  порядка  и принимающих значения в поле , определим скалярное произведение  по следующему правилу:

 

 

В случаях, когда ясно, о какой группе идет речь, мы иногда вместо  будем писать . Очевидно, что скалярное произведение является симметричной билинейной формой:

 

 

В этих обозначениях первое соотношение ортогональности для характеров можно сформулировать так:

Теорема . Пусть  – характеры попарно неэквалентных неприводимых представлений группы . Тогда

Кратности неприводимых представлений. Пусть  – некоторое представление группы . Поскольку оно вполне приводимо в силу теоремы 2.3, оно эквивалентно представлению

 

где  – неэквивалентные неприводимые представления. Число  называется кратностью представления  в , и мы записываем

 

 

Пусть  – характер представления  и  – характер представления . Тогда

 

 

Если , то  и  называют неприводимыми компонентами представления  и характера  соответственно.

Теорема 4.5. Пусть  – группа и  – характер некоторого ее представления. Пусть  – кратность неприводимого характера  в . Тогда

 

 

Доказательство. Пусть разложение  в сумму неприводимых характеров имеет вид , где  – кратность . Тогда

 

Теорема 4.6. Пусть  – представления группы , а  – их характеры. Тогда  и  эквивалентны в том и только том случае, когда .

Доказательство. В силу предыдущей теоремы кратности компоненты  в  и  определяются характерами последних. Поскольку каждое представление группы  вполне приводимо, представления  и  эквивалентны тогда и только тогда, когда каждое неприводимое представление  имеет в  и  одну ту же кратность. Таким образом,  тогда и только тогда, когда .

Пусть  – характер правого регулярного представления группы  порядка . Отметим, что

 

 

Для характера  произвольного неприводимого представления  выполняется соотношение

 

 

 равно степени представления ). Следовательно, справедлива следующая

Теорема 4.7. Пусть  – характер правого регулярного представления группы . Тогда каждое неприводимое представления  этой группы входит в  с кратностью , где  – степень представления . Таким образом,

 

где суммирование ведется по всем неприводимым характерам  группы .

Заметим, что правое и левое регулярные представления эквивалентны, поскольку характер  левого регулярного представления также удовлетворяет равенству (4.8). Поэтому .

Теорема 4.7 утверждает, что каждый неприводимый характер входит в  в качестве компоненты, и поэтому  имеет лишь конечное число неприводимых характеров. Ниже мы покажем, что число неприводимых характеров группы  совпадает с числом ее классов сопряженных элементов.

Теорема 4.8. Пусть  – полный набор различных неприводимых характеров группы . Пусть  – степень , а  – порядок группы . Тогда

 

 

и

 

 

для .

Для доказательства достаточно вычислить  на элементе , используя (4.8).

Второе соотношение ортогональности для характеров. Пусть  – группа, а  – ее классы сопряженных элементов. Образуем формальную сумму элементов из класса :

 

Определим произведение  и  по правилу

 

 

где , а суммирование ведется по . Для элемента  обозначим через  число пар , таких, что . Тогда для  имеется в точности  пар , таких, что , поскольку  тогда и только тогда, когда  для . Поэтому каждый элемент из  появляется в правой части равенства (4.9) одно и то же число раз, т.е.

 

 

Совокупность всех элементов  для  также образует класс сопряженных элементов. Обозначим этот класс через .

Тогда

 

 

Пусть  – неприводимое представление группы  и  – степень . Определим  по правилу

 

 

Тогда

 

поскольку  пробегает , как и . Значит,  коммутируют с  и в силу теоремы 3.2

 

 

Взяв след от обеих частей равенства (4.12), мы получим

 

 

где  – характер представления  и . В силу (4.10)

 

 

Подставив в это равенство (4.13), мы придем к равенству

 

 

или

 

 

Пусть  – все различные неприводимые характеры группы  и  – степень . Равенство (4.14) имеет место для каждого . Просуммировав (4.14) по , получим

 

Отсюда

 

 

Величина  равна порядку централизатора  элемента  в группе . Поскольку в силу (4.5) , мы получаем следующее утверждение.

Теорема 4.9. (Второе соотношение ортогональности для характеров.) Пусть  – множество всех различных неприводимых характеров группы , и пусть  – полный набор представителей классов сопряженных элементов группы . Тогда

 

 

где  – порядок  и суммирование ведется по всем неприводимым характерам  группы .

Теорема 4.10. Число различных неприводимых характеров группы  равно числу ее классов сопряженных элементов.

Доказательство. Мы воспользуемся следующим простым фактом, касающимся матриц. Пусть  есть  – матрица, а  есть  – матрица. Если определитель квадратной матрицы , имеющий порядок , отличен от нуля, то .

Пусть  – все различные неприводимые характеры группы , а  – полный набор представителей классов сопряженных элементов этой группы. Тогда по теореме

 

 

Поэтому . В силу теоремы 4.9

 

 

Отсюда следует, что  и потому .