Произведение представлений

 

Пусть  – квадратные матрицы порядков  и  соответственно, и пусть . Определим кронекерово, или тензорное, произведение  матриц  и  следующим образом:

 

 

Значит,  представляет собой квадратную матрицу порядка . Непосредственными вычислениями устанавливается следующая

Лемма 6.1.

(1) ,

(2) если  имеют степень , a  – степень , то

Пусть  и  – представления группы . Тогда в силу леммы 6.1 (2) отображение

 

 

также является представлением этой группы. Такое представление называют произведением представлений  и обозначают через . Пусть  – характеры представлений  соответственно. По лемме 6.1 (1)

 

 

Пусть  – полный набор неприводимых представлений группы , а  – характер . Отображение  также является неприводимым, и его характер – это , где . Пусть .

Теорема 6.2. Равенство

 

 

имеет место тогда и только тогда, когда

 

 

Доказательство.

 

Таким образом, кратность вхождения  в  равна кратности вхождения  в

Теорема 6.3. Пусть  – точное представление группы  и  – его характер. Пусть  – число различных значений, которые принимает  на . Тогда каждое неприводимое представление группы  входит в

 

 

для некоторого , где .

Доказательство. Предположим, что неприводимое представление  не входит в . Пусть  – характеры  и  соответственно. Тогда

 

 

для . Пусть  принимает на  значение . Положим  и . В силу (6.1)

 

 

для  Рассмотрим (6.2) как систему линейных уравнений для . Поскольку , эта система имеет решение .

Пусть  – степень представления , т.е. . Мы можем считать, что . Покажем, что . Пусть , т.е. . Обозначим через  циклическую группу, порожденную элементом . По теореме 3.3  эквивалентно прямой сумме представлений степени 1. Значит, для некоторой невырожденной матрицы

 

 

Пусть  – порядок элемента . Тогда . Взяв след в равенстве (6.3), получаем . Это означает, что , т.е. . Плскольку  точно, . Поэтому  и . Полученное противоречие доказывает теорему.

Таблицы характеров. Пусть  – группа и  – классы сопряженных элементов в . Пусть  – нерпиводимые характеры группы , а  – представители ее классов сопряженных элементов. Отметим, что в силу теоремы 4.10 число неприводимых характеров совпадает с числом классов сопряженности. Упорядочим значения  таким образом, чтобы получить таблицу характеров группы , в которой строки помечены различными неприводимыми характерами, начиная с , а столбцы – классами сопряженности группы , начиная с класса .

Различные строки таблицы характеров ортогональны между собой в смысле теоремы , а в силу теоремы 4.9 столбцы ортогональны между собой в обычном смысле как векторы комплексного унитарного пространства.

Заключение

 

Таким образом, в данной работе мы показали, что каждое представление конечной группы эквивалентно некоторому ее унитарному представлению и является мполне приводимым.

Путем прямых вычислений доказали лемму:

 

 для произвольной квадратной матрицы  и теорему: Пусть  – группа и  – ее подгруппа. Пусть  – представление  степени , а  – его характер. Тогда индуцированное представление  имеет степень , где , и характер

 

Непосредственными вычислениями была устанавлена следующая лемма: ,

 

(2) если  имеют степень , a  – степень , то

 

 

Список использованных источников

 

Сыскин С.А. Абстрактные свойства простых спорадических групп. – Усп. мат. наук, 1980, т. 35, №5, (215), с. 181–212.

Монахов В.С. О трижды факторизуемых группах. – Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук, 1981, №6, с. 18–23.

Монахов В.С. Произведение разрешимой и циклической групп // Сб. VI всес. симпозиум по теории групп.-Киев: Наукова думка, 1980-с. 189–195

Монахов В.С. О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2 // Весцi АН Беларусi. сер. фiз.-мат. навук. – 1996, №3-с. 21–24