Индуцированные представления

Пусть  – группа и  – ее подгруппа. Обозначим через  и  порядки групп  и  соответственно. Если  – некоторая функция на , то через  обозначим ее ограничение на . В случае когда  – функция классов на ,  также является функцией классов на . Если  – характер некоторого представления  группы , то  представляет собой характер ограничения  представления  на .

По функции , заданной на , определим функцию  на  правилом

полагая  для , не принадлежащих . Отметим, что  является функцией классов на , даже еслм  не является функцией классов на . Если  не сопряжен ни с каким элементом из , то .

Лемма 5.1. Пусть  – функция классов на группе , а  – функция классов на подгруппе  группы . Тогда

Доказательство. Имеем

Вклад в сумму дают лишь такие пары , что . Поэтому, суммируя по тем парам , для которых  при некотором , получаем

Если  – характер некоторого представления группы , то назовем  индуцированным характером группы  и скажем, что  индуцирован с . Мы хотим показать, что каждый индуцированный характер действительно является характером некоторого представления группы .

Пусть  – множество представителей левых смежных классов группы  по :

Для представления  подгруппы  определим матрицу  так:

где для , не содержащихся в , полагаем . Это обобщение правого регулярного представления группы . Мы покажем, что

– представление группы  степени , где , а  – степень . При фиксированных  и  множество  содержит по одному представителю из каждого левого смежного класса по , поэтому среди матриц , лишь одна ненулевая. Аналогично, множество  содержит по одному представителю из каждого правого смежного класса по  и среди матриц , также лишь одна ненулевая. Обозначим -й блок матрицы  через . Тогда

Покажем, что . Имеется единственное число , такое, что , и единственное число , такое, что . Если , то . Если же , то  и , поскольку . В любом случае  и следовательно, . Поскольку , матрица  невырожденна. Таким образом  является представлением группы .

Пусть  – характер , а  – характер . Тогда

Тем самым мы получим . Назовем  индуцированным представлением группы  и будем говорить, что  индуцировано с . Сказанное суммирует следующая

Теорема 5.2. Пусть  – группа и  – ее подгруппа. Пусть  – представление  степени , а  – его характер. Тогда индуцированное представление  имеет степень , где , и характер

Теорема 5.3. (Закон взаимности Фробениуса.) Пусть  – подгруппа в . Пусть  – полный набор неприводимых характеров группы , а  – полный набор неприводимых характеров группы . Тогда

в том и только том случае, когда

Другими словами, если  – неприводимое представление группы , а  – неприводимое представление , то  является неприводимой компонентой в  кратности  тогда и только тогда, когда  является неприводимой компонентой в  кратности .

Доказательство. Пусть  и . В силу леммы 5.1