Система уравнений Максвелла. Направляемые электромагнитные волны
Уравнения Максвелла являются основными уравнениями классической электродинамики, описывающие эволюцию электромагнитного поля и его взаимодействие с зарядами и токами. Система уравнений Максвелла в интегральной форме имеет вид: (2.1), (2.2), (2.3), (2.4); Физический смысл уравнения (2.1) заключается в том, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля. Уравнение (2.2) - электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле Уравнение (2.3) - теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике: поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов. ρ – объемная плотность распределения заряда внутри замкнутой поверхности. Физический смысл этого уравнения заключается в том, что силовые линии электростатического поля начинаются и заканчиваются на зарядах (на положительных и отрицательных соответственно). Уравнение (2.4) - теорема Гаусса для магнитного поля : поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю. Это говорит о том, что магнитное поле является вихревым и линии индукции всегда замкнуты. Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме: (2.5), (2.6), (2.7), (2.8). Уравнения связи имеют вид: (2.9), (2.10), (2.11), где и - соответственно электрические и магнитные постоянные; и - соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости; - удельная проводимость вещества; Распределение полей в волноводе может быть найдено путем решения системы уравнений Максвелла при заданных граничных условиях на стенках волновода. Предположим, что прямоугольный волновод заполнен воздухом , а проводимость стенок будем считать бесконечно большой. Тогда в рассматриваемой области будут отсутствовать сторонние токи и заряды. Требуется определить электромагнитное поле, которое может существовать в данной линии передачи при условии, что это поле гармоническое во времени, а частота колебаний равна ω (электромагнитное поле, в котором токи, заряды, потенциалы и составляющие векторов меняются по гармоническому закону с одной и той же заданной частотой, называется гармоническим электромагнитным полем). Искомое поле должно удовлетворять однородным уравнениям Максвелла в комплексной форме: (2.12), и граничному условию для касательной составляющей вектора напряженности электрического поля ( ) на поверхностях идеальных проводников: (2.13). Уравнения (2.12) трансформируются в однородные волновые уравнения для векторов и : (2.14), (2.15), где волновое число для плоской однородной волны, распространяющейся в безграничной среде с параметрами диэлектрика, заполняющего (окружающего) линию передачи. При решении задачи определения структуры электромагнитных полей Е и Н волн в линиях передачи используется следующий прием: 1) все поперечные составляющие векторов поля выражают с помощью так называемых уравнений связи через имеющиеся в данной волне продольные составляющие векторов напряженности электрического или магнитного поля ( для Е волн и для Н волн). 2) решают волновые уравнения только для этих продольных составляющих; 3) вычисляют с помощью уравнений связи поперечные составляющие векторов и в линии передачи. Таким образом, решение задачи сводится к составлению уравнений связи и решению одномерных однородных волновых уравнений для продольных составляющих векторов и . Для Е волн предстоит решить уравнение: (2.16), а для Н волн – уравнение: (2.17). Решениями уравнений (3.16) и (3.17) являются следующие уравнения: (2.18), (2.19). Уравнения связи получаются в результате преобразования уравнений Максвелла (3.12), раскрытых для соответствующей системы координат. Для декартовой (прямоугольной) системы координат (x,y,z) уравнения связи для Е и Н волн выглядят следующим образом: Е-волны: (2.20), Н-волны: (2.21), где K –продольное волновое число для E и H-волн в волноводе, поперечное волновое число. (2.22), (2.23). Для этих волн поперечное волновое число ≠ 0, а продольное волновое число K отличается от k. Рассмотрим, как будет изменяться величина K в зависимости от частоты колебаний ω. В реальных системах частота ω есть частота источника, возбуждающего поле, т.е. частота генератора. Положим в общем виде: K = β – jα (2.24), jK = α + jβ (2.25). В зависимости от величины ω могут иметь место три случая (напомним, что ). 1. Волновое число k > (частота ω достаточно высокая). При этом продольное волновое число K является чисто вещественной величиной (2.23). Следовательно, в данном случае (2.24) K = β, α = 0. Волна распространяется вдоль линии без затухания и процесс ее распространения определяется множителем , где β играет роль коэффициента распространения этой волны в волноводе: (2.26). 2.Волновое число k < (частота ω низкая). При этом продольное волновое число K является чисто мнимой величиной (2.23) и, в соответствии с (2.24), K = –jα, β = 0. Это означает, что в данном случае в линии передачи существует не электромагнитная волна, а не распространяющееся электромагнитное поле, «привязанное» к источнику возбуждения и затухающее по мере удаления от него по закону , где α – коэффициент затухания, равный: (2.27). 3. Волновое число k = . При этом продольное волновое число K = 0. Формально в этом случае в линии передачи нет ни волны, ни «привязанного» поля. Такой режим работы линии передачи называют критическим, а частоту, при которой наступает этот режим, также называют критической и обозначают ωкр. Она определяет границу перехода от режима, при котором в линии передачи могут распространяться электромагнитные волны, к режиму, при котором распространение электромагнитных волн вдоль линии передачи невозможно. Из выражения (2.23), полагая K = 0, находим ωкр: (2.28), (2.29), где V – фазовая скорость плоской электромагнитной волны, распространяющейся в свободном пространстве. Из формул (2.28) и (2.29) видно, что критическая частота зависит не только от поперечного волнового числа , но и от параметров диэлектрика, заполняющего линию передачи. Такая зависимость иногда оказывается неудобной, поэтому помимо ωкр и fкр для характеристики критического режима пользуются параметром «критическая длина волны» – λкр, под которой понимают длину волны плоской однородной волны, распространяющейся в свободном пространстве, частота возбуждения которой равна fкр: (2.30). Таким образом Е и Н волны могут распространяться вдоль линии передачи не при любых частотах, а лишь при выполнении условия: f > fкр или λ < λкр (2.31), где f – частота возбуждающего линию передачи генератора, а λ – длина волны в свободном пространстве, соответствующая этой частоте. Найдем фазовую и групповую скорости Е и Н волн, распространяющихся вдоль линии передачи – Vф и Vгр. Для этого запишем мгновенное значение функции для падающей волны: (2.32). Приравняв аргумент косинуса этого выражения постоянной величине, получим: (2.33). Фазовая скорость будет равна производной по времени от полученной величины z (2.34), где β определяется выражением (2.26). Продолжая преобразования, найдем: (2.35). Анализ выражения (2.35) показывает, что, во-первых, Vф зависит от частоты генератора и, следовательно, линии передачи с Е и Н волнами являются диспергирующими системами. Во-вторых, Vф оказывается больше, чем фазовая скорость плоской однородной волны в свободном пространстве V. Этот результат, на первый взгляд, может показаться противоречащим основному постулату теории относительности, согласно которому передача сигналов со скоростью, превышающей скорость света в вакууме, невозможна. На самом деле противоречия, конечно, нет, так как скорость передачи сигнала электромагнитной волной, равная , совпадает с фазовой скоростью этой волны и скоростью переноса энергии только для плоской однородной волны, распространяющейся в свободном пространстве. Для Е и Н волн скорость передачи сигнала, которую мы назовем групповой скоростью и обозначим Vгр, отличается от Vф и равна: (2.36). Vгр оказывается меньше V, при чем всегда выполняется условие: (2.37). Найдем длину волны Е и Н волн, распространяющихся вдоль линии передачи. Фазовая скорость Vф определяет длину волны в линии передачи, которую мы обозначим Λ и будем понимать под ней расстояние, которое Е или Н волна проходит вдоль линии за отрезок времени, равный периоду колебаний T: (2.38). Подставляя в (3.38) значение Vф из (2.35), и учитывая, что T = λ/V, получаем: (2.39), где λ – длина волны в свободном пространстве, соответствующая частоте генератора, возбуждающего Е и Н волны в линии передачи. Как и следовало ожидать, при одной и той же частоте возбуждения длина волны в линии передачи Λ оказывается больше длины волны в свободном пространстве λ. Из формул (2.39) и (2.35) следует, что с увеличением частоты возбуждающего генератора длины волн электрических и магнитных волн в линии передачи и их фазовые скорости приближаются к длине волны и фазовой скорости плоской волны в свободном пространстве. Этот результат можно объяснить тем, что, по мере увеличения частоты, относительные (по отношению к λ) размеры поперечного сечения линии передачи возрастают и условия распространения волн вдоль линии передачи все больше приближаются к условиям, существующим при распространении волны в свободном пространстве. Наоборот, при стремлении f к fкр значения Λ и Vф все больше превосходят λ и V, стремясь в пределе (при f = fкр) к бесконечности. Установив общие свойства направляемых волн, перейдем к рассмотрению структуры электромагнитного поля этих волн для конкретных направляющих систем.
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (194)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |