Система уравнений для E -волн
Разместим прямоугольную систему координат так, как показано на рис.3.1. В этом случае верхняя и нижняя стенки волновода находятся в плоскостях y=0 и y=b, а боковые – в плоскостях x=0 и x=a. Уравнение (3.1) в декартовой системе координат имеет следующий вид: (3.2). Рисунок 2 - Расположение волновода.
При интегрировании уравнения (3.2) воспользуемся методом Фурье. Представим функцию Ψ(x,y) в виде произведения двух функций X(x) и Y(y), каждая из которых зависит только от одной пространственной переменой: Ψ(x,y) = X(x)Y(y) (4.3). Подставим (3.2) в (3.3) и выполним частное дифференцирование (3.4). Перейдя в (3.4) от частных дифференциалов к обыкновенным и поделив его почленно на произведение X(x)Y(y), имеем: (3.5). Приравняем первый член уравнения (4.5) постоянному коэффициенту , а второй – постоянному коэффициенту , физический смысл которых будет выяснен позднее. В этом случае уравнение (3.5) может быть представлено в виде системы из трех более простых уравнений: (3.6), (3.7), (3.8). Уравнения (3.6) и (3.7) являются обыкновенными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка, решениями которых являются комбинации показательных либо тригонометрических функций и постоянных коэффициентов. Решение уравнения (3.6) для рассматриваемого случая будет иметь следующий вид: (3.9), Уравнение (3.9) представляет собой суперпозицию бегущих волн. В данном случае следует выбрать решения, представляющие собой стоячие волны, а решения в виде бегущих волн отбросить как физически не реализуемые, так как распространению бегущих волн в направлениях осей 0x и 0y препятствуют металлические стенки волновода. В выражение (3.9) входят три постоянные коэффициента C, D и kx, для определения которых необходимо воспользоваться граничным условием . Граничное условие для выбранного расположения декартовой системы координат относительно стенок волновода (см. рисунок 3.1) трансформируется в следующие условия для составляющей при x=0, x=a, y=0 и y=b. Применительно к уравнению (3.9) это означает, что при x=0 и при x=a правая часть уравнения должна обращаться в нуль. Первое условие может быть выполнено только в том случае, если C = 0, а второе – если , где m – любое целое положительное число; a – поперечный размер широкой стенки волновода. Таким образом, используя граничные условия, мы определили значения постоянных коэффициентов C и , и уравнение (3.9) принимает следующий вид: (3.10). Проведя аналогичные операции с уравнением (4.7), получаем (3.11), где B – постоянный коэффициент, – постоянный коэффициент, n – любое целое положительное число, b – поперечный размер узкой стенки волновода. Подставив (3.10) и (3.11) в (3.3), имеем (3.12). Численные значения коэффициентов B и D зависят от параметров источника, возбуждающего электромагнитную волну в линии передачи. Подставив (3.12) в (2.18) и обозначив произведение коэффициентов B, D и A как , получим окончательное решение волнового уравнения для продольной составляющей вектора напряженности электрического поля Е волн в прямоугольном волноводе (3.13) Чтобы воспользоваться уравнениями связи для определения поперечных составляющих векторов напряженности электрического и магнитного полей Е-волн в прямоугольном волноводе, необходимо найти частные производные и . Вычислим их, проведя частное дифференцирование выражения (3.13) по переменным x и y: (3.14), (3.15). Анализ уравнения (3.13) и его частных производных показывает, что для Е волн целые числа m и n, входящие в выражения для коэффициентов и , не должны равняться нулю, так как в противном случае все составляющие векторов и этих волн будут равняться нулю. Подставляя значения вычисленных частных производных в уравненияx связи, получим систему уравнений для составляющих векторов и поперечно-магнитных волн (Е волн) в прямоугольном волноводе: (3.16), (3.17), , (3.18) (3.19) (3.20) (3.21). Уравнения (3.16)-(3.21) могут быть записаны в более компактном виде: (3.22), (3.23), (3.24), (3.25) (3.26), (3.27), где , , , , – амплитуды соответствующих составляющих векторов и , а – максимальные значения этих амплитуд. Следует отметить, что в случае Е волн, являющихся неоднородными плоскими волнами, амплитуды составляющих векторов и изменяются при перемещении вдоль фазового фронта этих волн (в отличие от однородных плоских волн, распространяющихся в свободном пространстве).
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (195)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |