Анализ решения уравнений Максвелла для прямоугольного волновода

Полученные выше уравнения (3.22)-(3.27) и (3.36)-(3.41) являются решениями уравнений Максвелла, удовлетворяющих физическим условиям рассматриваемой задачи и граничным условиям. Попробуем на основе этих математических выкладок описать физическую картину электромагнитных процессов, происходящих внутри волновода.

Прежде всего запишем развернутую формулу для критической длины волны Е и Н волн  в соответствии с уравнениями (2.30), (3.8), (3.10), (3.11).

λ_кр = 2π/æ = 2π/(k_x²+ k_y²)^0.5 = 2 / ((m/a)² + (n/b)²) ^0.5(4.1).

где m и n – целые положительные числа, которые для Н волн могут порознь равняться нулю, а для Е волн начинаются с единицы.

Каждой паре целых чисел m и n соответствуют разные значения векторов  и , а также разные значения λ_кр, V_ф и Λ.

Физически это означает, что при выполнении определенных условий в волноводе могут одновременно существовать различные по своей структуре и фазовой скорости Е и Н волны. Эти волны носят название «собственных волн» волновода и обозначаются Е_mn или Н_mn, где латинские заглавные буквы определяют принадлежность собственной волны к классу Е  или Н волн, а нижние индексы m и n определяют тип собственной волны (т.е. структуру электрического и магнитного полей этой волны).

Волновое сопротивление собственных волн равно отношению взаимно-перпендикулярных поперечных составляющих векторов  и  этих волн. Обратившись к системе уравнений для Е волн (3.16)-(3.21), находим:

 (4.2),

где  – волновое сопротивление плоской однородной волны в свободном пространстве. Обратившись к системе уравнений для Н волн (3.31)-(3.35), находим

(4.3).

Как следует из выражений (4.2) и (4.3), волновые сопротивления собственных волн волновода, в отличие от , изменяются при изменении частоты возбуждающего генератора.

Собственные волны могут распространяться по волноводу не при любых частотах, а лишь при соблюдении условия (2.31).

Следовательно, возможно такое соотношение между поперечными размерами волновода и частотой возбуждающего генератора, при котором в волноводе будут одновременно распространяться несколько собственных волн (теоретически – любое количество).

В то же время, возможно такое соотношение между названными выше параметрами, при котором в волноводе не сможет распространяться ни одна из собственных волн.

Можно выдержать такое соотношение между размерами волновода и частотой возбуждающего генератора, при котором в волноводе может распространяться только одна собственная волна, имеющая наибольшую из всех собственных волн критическую длину волны. Эта собственная волна называется «основной волной волновода» или «волной низшего типа».

Для стандартного прямоугольного волновода, у которого a > b, волной основного типа будет собственная волна Н₁₀. Критическая длина волны для собственной волны Н₁₀ равна 2a (рис. 3). По отношению к волне Н₁₀ все прочие собственные волны называются волнами высших типов.

Рисунок 3 - Критическая длина волны для собственной волны

На рис. 3 показано соотношение между критическими длинами волн критическими частотами нескольких собственных волн прямоугольного волновода, имеющего поперечные размеры 40х20 мм. Этот рисунок наглядно демонстрирует наличие такого диапазона частот возбуждающего данный волновод генератора, в пределах которого волна Н₁₀ является единственно возможной собственной волной данного волновода, так как только для нее выполняется условие λ< λ_кр. На практике, при разработке различных волноводных узлов и блоков, очень часто оказывается необходимым создать в волноводе именно такой режим работы. Поэтому рассмотрим структуру поля и особенности распространения собственной волны Н₁₀ более подробно.

5 Структура поля волны в волноводе прямоугольного сечения

Для волны Н₁₀  m = 1, n = 0, следовательно, k_x= π/a, k_y= 0, λ_кр= 2a, а система уравнений (3.36)-(3.41) преобразуется к следующему виду: 

= 0 (5.1),

= – j Е_0y sin((π/a)x) exp(–jKz) = – j E_y(x) exp(–jKz) (5.2),

 = 0 (5.3),

 = j H_0x sin((π/a)x) exp(–jKz) = j H_x(x) exp(–jKz) (5.4),

 = 0 (5.5),

 = H_0zcos((π/a)x) exp(–jKz) = H_z(x) exp(–jKz) (5.6).

Анализ уравнений (5.1)-(5.6) показывает, что вектор  волны Н₁₀ имеет только одну составляющую Ε_y , расположенную в плоскости поперечного сечения волновода, а вектор  – две составляющие: Η_x , расположенную в плоскости поперечного сечения волновода, и Η_z , параллельную продольной оси симметрии волновода. В отличие от плоских однородных поперечных волн, у которых амплитуды векторов  и  не меняются в плоскости их фазового фронта, амплитуды составляющих ,  и  векторов  и  волны Н₁₀ изменяются в плоскости фазового фронта этой волны. Амплитуды составляющих  и  имеют максимальные значения (Е_0y и H_0x) в центре волновода и спадают до нуля около его боковых стенок, а амплитуда составляющей  имеет максимум (H_0z) около боковых стенок и спадает до нуля в центре волновода. Фазовые соотношения между этими составляющими таковы, что по отношению к  составляющая  сдвинута в пространстве и во времени на π (т.е. находится по отношению к ней в противофазе), а составляющая  – на π/2 (т.е. находится по отношению к ней в квадратуре). Соответственно, составляющие   и  сдвинуты по фазе друг относительно друга на π/2. Формулы для гармонических векторов E (x,z,t) и H (x,z,t) волны Н₁₀ имеют следующий вид:

(5.7),

 (5.8),

где E_y(x), H_x(x), H_z(x) – амплитуды составляющих E_y(x,z,t), H_x(x,z,t) и H_z(x,z,t).

Амплитуды E_y(x), H_x(x), H_z(x) имеют максимальные значения Е_0y, H_0x, H_0z, а их зависимость от пространственной переменной х описывается следующими выражениями (см 4.1):

E_y(x) = Е_0y sin((π/a)x) (5.9),

H_x(x) = H_0x sin((π/a)x) (5.10),

H_z(x) = H_0zcos((π/a)x) (5.11).

Рисунок 4 - Графические изображения силовых линий вектора  волны Н₁₀ в плоскости поперечного сечения волновода

На рисунке 4 (а, б, в) приведены графические изображения силовых линий вектора  волны Н₁₀ в плоскости поперечного сечения волновода (пл11) и в двух взаимно перпендикулярных продольных плоскостях, параллельных узким и широким стенкам волновода и проходящим через ось его геометрической симметрии (пл22 и пл33 соответственно). Изображение сделано для момента времени t₁, когда вектор Е(x,z,t) достигает в плоскости 11 своего максимального положительного значения.

На рисунке 5.1 (г) приведена зависимость составляющей Е_y(x,z,t) от пространственной переменной (координаты) z в плоскости 22 для момента времени t₁, а на рисунке 5.1 (д) – зависимость амплитуды этой составляющей от координаты x в плоскости 11.

Рисунок 5 - Силовые линии вектора  волны Н₁₀ в плоскостях

На рисунке 5 (а, б, в) изображены силовые линии вектора  волны Н₁₀ в плоскостях 11, 22 и 33 для момента времени t=t₁. На рисунке 5 (г, д) приведены зависимости составляющей H_x(x,z,t) от координаты z в пл.22 и составляющей H_z(x,z,t) от координаты z в плоскости y0z для момента времени t₁. На рисунке 5 (е, ж) приведены зависимости амплитуд Н_x(x) и Н_z(x) от координаты x в поперечных плоскостях 11 и 44 соответственно.

5.1 Распределение токов проводимости по стенкам волновода, в котором распространяется волна Н₁₀

Рассмотрим структуру токов проводимости, возбуждаемых волной Н₁₀ на внутренних поверхностях стенок волновода (напомним, что стенки волновода считаются идеально проводящими и по ним могут течь только поверхностные токи).

Вектор плотности поверхностного тока ( ), возбуждаемого в идеальном проводнике, перпендикулярен касательной составляющей вектора напряженности магнитного поля ( ) электромагнитной волны, возбуждающей этот ток, и связан с ней следующим соотношением:

 (5.12),

где  –внешняя нормаль к поверхности идеального проводника. Для волны Н₁₀ касательными к стенкам волновода составляющими вектора  являются:

– для верхней и нижней стенок – составляющие Н_x и Н_z при y=0 и y=b;

– для боковых стенок – составляющая Н_z при x=0 и x=a.

В результате, мгновенная (для момента времени t = t₁) картина силовых линий векторов плотности токов проводимости, текущих по внутренним поверхностям стенок волновода, будет иметь вид, изображенный на рисунке 6.3. Важно отметить, что в локальных областях, расположенных в центре волновода на расстоянии  друг от друга, из которых исходят (или в которые входят) силовые линии токов проводимости, эти силовые линии замыкаются силовыми линиями токов смещения см  (напомним, что см  = ).

Рисунок 6 - силовые линии токов смещения, которые находятся в плоскости поперечного сечения

Для того, чтобы не загромождать рисунок 6, на нем изображены только те силовые линии токов смещения, которые находятся в плоскости поперечного сечения 44.

Знание картины силовых линий токов проводимости необходимо для решения задачи размещения излучающих или неизлучающих щелей на стенках волновода. Излучающими являются щели, прорезанные перпендикулярно силовым линиям токов проводимости, а неизлучающими

– параллельно этим силовым линиям. Следовательно, если в волноводе распространяется волна Н₁₀, то любая щель, прорезанная в боковой стенке волновода параллельно оси 0z будет излучающей, в то время как щель, прорезанная посередине широкой стенки волновода параллельно оси 0z, – неизлучающей и т.д.