Метод множественной корреляции

Если необходимо исследовать корреляционную связь между многими величинами, пользуются уравнениями множественной регрессии:

.

Здесь мы имеем дело уже не с линией регрессии, а с поверхностью регрессии при  и с гиперповерхностью при . В общем случае, как указывалось выше, эту поверхность называют поверхностью отклика.

При построении поверхности отклика на координатных осях факторного пространства откладываются численные значения параметров (факторов). Исходный статистический материал представляют в виде (табл. 3.1).

Таблица 3. 1

№ опыта				…		y
1				…
2				…
3				…
N				…

Прежде всего, перейдем от натурального масштаба к новому, проведя нормировку всех значений случайных величин по формулам:

, ,

где ,  – нормированные значения соответствующих факторов;  – средние значения факторов; ,  – среднеквадратичные отклонения факторов:

, .

В табл. 3.2 приведен статистический материал в новом масштабе:

Таблица 3. 2

№ опыта				…
1				…
2				…
3				…
N				…

 В новом масштабе имеем:

, ; , , .

Выборочный коэффициент корреляции (1) при этом равен:

; , . (3)

Вычисленный по формулам (3) выборочный коэффициент корреляции равен коэффициенту корреляции между переменными, выраженными в натуральном масштабе .

Уравнение регрессии между нормированными переменными не имеет свободного члена и принимает вид:

.

Коэффициенты уравнения находятся из условия:

.

Условия минимума функции Ф определяются так же, как в случае зависимости от одной переменной:

, , …,  

и система нормальных уравнений принимает вид:

. (4)

Умножим левую и правую части уравнений (4) на . В результате при каждом коэффициенте  получим выборочный коэффициент корреляции . Принимая во внимание:

имеем систему нормальных уравнений:

.

Следует иметь в виду, что . Коэффициенты корреляции легко вычисляются простым перемножением соответствующих столбцов таблицы. Для многопараметрических процессов система оказывается высокого порядка и для ее решения необходимо использовать вычислительную машину.

Решив систему, рассчитывают коэффициент множественной корреляции

.

Коэффициент множественной корреляции служит показателем силы связи в случае множественной регрессии .

В случае выборок небольшого объема в величину R необходимо внести коррекцию на систематическую ошибку. Чем меньше число степеней свободы выборки , тем сильнее преувеличивается сила связи, оцениваемая коэффициентом множественной корреляции. Формула для скорректированного значения коэффициента :

.

Для практического использования уравнения необходимо перейти к натуральному масштабу по формулам:

, ; .

При наличии параллельных опытов можно рассчитать дисперсию воспроизводимости и провести статистический анализ уравнения регрессии.