Математическое моделирование.

    Математическое моделирование – исследование процессов или явлений на основе математических моделей.

    Математической моделью процессов является исчерпывающее математическое описание процессов переноса. Но эти модели сложные, уравнения, в основном, не решаются. Поэтому их упрощают, путём оценки значимости их членов. Если этот способ невозможен (члены уравнения одного порядка), то сознательно огрубляют исчерпывающее описание процесса. Например, трёхмерное описание приводит к одномерному – от входа в аппарат к выходу. При этом коэффициенты переноса заменяются на неких параметры модели. Отыскание этих параметров, т.е. идентификация модели, проводят путём составления физического и численного экспериментов.

    Любая модель неполно отражает оригинал. Поэтому следующим этапом моделирования является проверка адекватности модели – соответствия её моделируемому объекту. Это достигается путём сопоставления результатов моделирования с численным либо физическим экспериментом.

    Если модель в недостаточной степени соответствует оригиналу, проводят её коррекцию.

    Конечным этапом математического моделирования является использование полученной модели для описания объекта, либо уже существующего, либо проектируемого.

    Итак, этапы математического моделирования:

    – составление математической модели;

    – идентификация модели;

    – проверка адекватности модели, при необходимости коррекция;

    – использование модели для описания объекта-оригинала.

  Современное материальное обеспечение математического моделирования – компьютеры, возможности которых велики.

 

Физическое моделирование.

    Физическое моделирование проводится на основе экспериментального изучения материальных моделей объекта. При этом возникают три проблемы:

- какую модель использовать (форма, размер, среда);

- какие характеристики измерять;

- как перенести результаты исследования с модели на объект.

    Эти проблемы решаются с помощью теории подобия, являющейся теоретической основой физического моделирования.

Теория подобия.

    Подобие в широком смысле – это возможность распространения результатов экспериментов с модели на оригинал. В узком смысле подобие – это тождественность описания полей соответствующих величин модели и оригинала в обобщённых переменных или, по-другому, постоянство отношения сходственных величин модели и оригинала. Далее «подобие» будем понимать в узком смысле.

    Подобные объекты описываются одной системой дифференциальных уравнений и имеют подобные условия однозначности (геометрическое подобие, временное подобие, подобие физических величин, подобие начальных и граничных условий).

    Геометрическое подобие – постоянство отношения всех сходственных линейных размеров модели и оригинала.

                             ,                    (2.88)

где l и l – сходственные линейные размеры модели и объекта, K – константа геометрического подобия.

    Временное подобие (гомохронность) – постоянство отношения сходственных интервалов времени модели и оригинала:

                                   ,                       (2.89)          

Если  =1, то имеем синхронность. 

    Подобие физических величин  - постоянство отношения физических величин для модели и оригинала в сходственных точках сходственного момента времени:

,      ,               (2.90)       

Подобие модели и объекта предполагает подобие полей физических величин:

   - гидродинамическое подобие (подобие полей скоростей)       

    - тепловое подобие (подобие полей температуры)

                                                                                 

   - концентрац. подобие (подобие полей концентраций)

    При соблюдении геометрического и временного подобия будет соблюдаться также подобие полей скоростей, температур, концентраций и других физических величин.

    Подобие начальных условий – подобие полей всех физических величин в начальный момент времени.

    Подобие граничных условий – постоянство отношения соответствующих величин на границах модели и оригинала.

    Константы подобия – отношения одноимённых величин модели и оригинала. Они постоянны для различных сходственных точек подобных систем.

    Инварианты подобия – безразмерные отношения величин, характеризующих модель или оригинал.

    Симплексы подобия – инварианты подобия, представляющие собой отношения однородных величин:

                                                                (2.91)

     Критерии подобия – инварианты подобия, представляющие собой отношения разнородных, сложных величин. Например:           

                                        (2.92)

     Определяющие критерии подобия составлены из величин, входящих в условия однозначности. Определяемые критерии подобия содержат величины, которые необходимо определить.

    Наиболее простой метод получения критериев подобия заключается в следующем: дифференциальное уравнение приводится к безразмерному виду делением всех членов на один из них. Полученные комплексы являются критериями подобия.

    Теоремы подобия:

1. Подобные объекты характеризуются численно равными критериями подобия.

2. Решение дифференциального уравнения (уравнений) описывающего объект, может быть представлено в виде зависимости между критериями подобия.

3. Объекты подобные, если они описываются одной системой дифференциальных уравнений, имеют подобные условия однозначности и их определяющие критерии равны.

    Математическая зависимость между критериями и симплексами подобия, характеризующими данный процесс переноса субстанции, называется критериальным уравнением:

                                            (2.93)

    Если определяемый критерий, то имеем: 

                                            (2.94)

    Обычно критериальные уравнения имеют вид степенной зависимости:

                                          (2.95)

    Величины - определяются экспериментально. Если какой – либо из определяющих критериев слабо влияет на определяемый критерий, то его исключают из уравнения.

 

                    2.3.2.2 Подобие гидромеханических процессов.

    Запишем для вертикальной оси z уравнение Навье – Стокса  

                                                         (2.96)                                                             

    Уравнение (2.96) преобразуем следующим образом: отбросив знаки математических операторов, делим одну часть уравнения на другую и находим критерии подобия: 

                              (I)                                                                                                   

               (II)  

                                  (III)  

                                (IV)     

                      (V)

      Члены в правой части уравнения разделим на :

    ;       – Критерий Фруда (2.97)                      

    Этот критерий отображает влияние сил тяжести на движение жидкости, является отношением сил инерции и тяжести.

 

  ;  – Критерий Эйлера (2.98)

    Критерий Эйлера – является мерой отношения сил поверхностного давления и инерции.   

 

  ;  – Критерий Рейнольдса (2.99)          

      Критерий Рейнольдса – Является мерой отношения сил инерции и вязкого трения.

    Внутри левой части уравнения имеем:

 

   ;  – Критерий гомохронности для                                                                                                               

                                                       неустановившегося движения (2.100)

    

    Все критерии, симплексы, константы, подобия безразмерные величины.

    Для гидродинамического подобия       :  

       Γi = idem(i = 1, 2…n), Re = idem, Eu = idem, Fr = idem, Ho = idem. (2.101)

    Решение уравнения Навье – Стокса может быть представлено критериальным давлением вида:

                           f ( Re, Ho, Eu, Fr ) = 0            (2.102)

    В ряде случаев (течение жидкости по трубе, например) последнее уравнение должно быть дополнено симплексами подобия:

                              

                           f (Re, Ho, Fr, Eu, Гi ) = 0         (2.103)

    Обычно определяют ∆p, тогда:

                             Eu = f (Re, Ho, Fr, Гi )           (2.104)

    Для установившихся процессов критерий гомохронности Ho = 0 и должен быть исключён из уравнений, а критерием Fr можно пренебречь вследствие того, что сила тяжести мала по сравнению с силами инерции и вязкого трения. Таким образом, зависимость (2,104) сводится к виду:

                              Eu = f (Re, Гi )                       (2.105)

    При развитых турбулентных режимах, в зоне автомодельности сопротивления трения по критерию Re, зависимость ещё более упрощается и принимает вид:

                            Eu = f (Гi)                                          (2.106)

    Результаты экспериментальных данных обрабатываются, обычно, в виде степенной зависимости:

                                 (2.107)

    Рассмотрим подобие граничных условий. Вязкий поток импульса через границу раздела фаз  можно определить по закону Ньютона:

                                                           (2.108)

     Тот – же поток можно выразить в виде линейной зависимости от разности   на границе и в ядре потока среды:

                                                             (2.109)

      Здесь – коэффициент импульсоотдачи.

    Тогда получим:  

                                                  (2.110) 

    Проведя формальное преобразование получим:

                                                                                     (2.111)

     Здесь – характерная линейная величина, – гидродинамический критерий Нуссельта. Гидродинамический критерий Нуссельта является безразмерной формой коэффициента импульсоотдачи. Поскольку поле скорости однозначно определяет коэффициент γ, решение уравнений Навье – Стокса можно представить следующим образом:

                                                (2.112)

    Для многих практически важных случаев число определяющих критериев может быть сокращено. Влиянием силы тяжести на зачастую можно пренебречь и подключить критерия Фруда. Для стационарных процессов исключается критерий гомохронности. Процесс импульсоотдачи может стать автомодельным и по отношению к критерию Рейнольдса.     

            

                             2.3.2.3 Подобие тепловых процессов.

    Критерии подобия тепловых процессов вводятся из уравнения Фурье – Кирхгофа:

        (2.113)

    Для полного описания конвективного переноса теплоты необходимо присоединить к уравнению Фурье – Кирхгофа уравнения Навье – Стокса и неразрывности, а также алгебраическое уравнение зависимости вязкости от температуры.

    Преобразуем уравнение Фурье – Кирхгофа формальным, но простым способом: отбрасывая знаки математических операторов:         

            (I)                 (II)

                                        (III)

     Далее, разделив одну часть уравнения на другую, находим критерии подобия:

                   ;              – Критерий Фурье    (2.114)     

    Критерий Фурье характеризует распространение теплоты теплопроводностью при изменении температуры во времени, является аналогом критерия гомохронности Ho.      

                        ;        – Критерий Пекле  (2.115)

   Критерий Пекле характеризует соотношение между интенсивностью переноса теплоты конвекцией и теплопроводностью в движущемся потоке.

    Рассмотрим подобие граничных условий.

    Тепловой поток на границе раздела фаз можно выразить с помощью уравнения Фурье:

                                                           (2.116)   

   Тот – же поток можно выразить в виде линейной зависимости от разности  на границе и в ядре потока жидкости :

                                                                   (2.117)

    Здесь – коэффициент теплоотдачи. Тогда получим:

                                (2.118)

     Проведя формальное преобразование (2,118) имеем:

                                  (I)                          (II)

     ;                     – Критерий Нуссельта (2.119)

    Критерий Нуссельта характеризует отношение суммарного переноса теплоты конвекцией и теплопроводностью (т.е. теплоотдачей) к теплоте, передаваемой теплопроводностью.

    Для подобия процессов теплообмена необходимо:

            ,        ,     

    Кроме того, необходимым условием подобия процессов переноса теплоты является соблюдение гедродинамического подобия. Тогда критериальное уравнение теплоотдачи имеет вид:

                                    (2.120)

                     или

                                            (2.121)

    Критерий Эйлера в уравнение не вошёл, т.к. . Преобразования критерия Пекле дают:                                                  

                                                           (2.122)

    Критерий Прандтля  – характеризует подобие физических свойств теплоносителей. Для газов , жидкостей ÷ .

    Для установившегося процесса теплообмена:

                                                       (2.123)

    При вынужденной теплоотдаче критерием Fr можно пренебречь:

                                                                   (2.124)

   Обычно критериальное уравнение представляют в виде степенной зависимости:

                        (2.125)

    Здесь – экспериментально найденные коэффициенты.