Устойчивость решений дифференциальных систем и функции Ляпунова

Введение

Понятие функций Ляпунова появилось в связи с развитием теории устойчивости, начало которой положили труды великого русского математика А.М. Ляпунова. Рождение теории устойчивости как самостоятельной научной дисциплины можно отнести ко времени появления докторской диссертации А.М. Ляпунова "Общая задача об устойчивости движения", впервые опубликованной в Харькове в 1892 году. За последние годы наблюдается бурный рост этой теории, вызванный потребностями развивающейся техники, в частности, теории автоматического регулирования и управления.

Развитие теории устойчивости движения осуществляется двумя путями: во-первых, расширением круга задач и, во-вторых, созданием новых и усилением уже известных методов исследования. Метод функций Ляпунова (известный также как второй или прямой метод Ляпунова) является одним из наиболее эффективных методов исследования устойчивости, чем вызвано и его широкое применение в теории управления. Значение его далеко не исчерпывается возможностью установления факта устойчивости или неустойчивости исследуемой системы. Удачно построенная функция Ляпунова для конкретной системы позволяет решать целый комплекс задач, которые имеют важное прикладное значение, например, получение оценки изменения регулируемой величины, оценки времени регулирования, оценки качества регулирования, оценки области притяжения (множества всех начальных возмущений, исчезающих во времени), оценки влияния постоянно действующих возмущений и другие.

Функции Ляпунова позволяют решать вопросы устойчивости в "большом", т.е. оценивать область начальных возмущений, не выходящих с течением времени за пределы заданной области. С помощью функций Ляпунова решается проблема существования или отсутствия периодических решений, устанавливается ограниченность и продолжимость всех решений заданной нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

В связи с широким применением функций Ляпунова возник вопрос универсальности этого метода. Решением этой задачи занимались Я.П. Персидский, Н.Н. Красовский, Е.А. Барбашин, Я. Курцвейль, Ж.Л. Массера и другие математики. Было установлено, что в теории устойчивости этот метод универсален для широкого круга задач. В этой связи возникла задача о методах построения функций Ляпунова. Следует заметить, что известные методы построения функций Ляпунова, разработанные для получения достаточных условий устойчивости, не являются достаточно эффективными, поскольку каждый из них приспособлен для исследования конкретных систем. Поэтому проблему построения функций Ляпунова для нелинейных систем в настоящее время нельзя считать решенной.

Данная работа содержит исследования вопроса о применении функций Ляпунова к исследованию продолжимости решений дифференциальных уравнений.

Устойчивость решений дифференциальных систем и функции Ляпунова

В данной работе мы будем рассматривать системы дифференциальных уравнений в нормальной форме. Напомним, что система обыкновенных

дифференциальных уравнений называется  нормальной. В этой системе  --- независимая переменная,  --- неизвестные функции этой переменной, а  --- функции от  переменной, заданные на множестве  пространства размерности , в котором координатами точки являются числа . В дальнейшем будем предполагать, что функции

непрерывны на открытом множестве ; также будем предполагать, что их частные производные

существуют и непрерывны на множестве . Следует заметить, что частные производные , непрерывность которых предполагается, берутся только по переменным , а не по независимой переменной .

Решением системы уравнений называется система непрерывных функций

определенных на некотором интервале  и удовлетворяющих системе . Интервал  называется  интервалом определения решения (случаи ,  не исключаются). Считается, что система функций удовлетворяет системе уравнений , если при подстановке в соотношение вместо  функций соотношения превращаются в тождества по  на всем интервале  и чтобы правые части уравнений были определены для всех подставляемых в них значений аргументов. Таким образом, точка с координатами  должна принадлежать множеству  для всех значений  на интервале .