Метод функций Ляпунова. Теоремы Ляпунова

Проиллюстрируем идею метода на простейшем примере:

Рассмотрим функцию . Эта функция положительна всюду, кроме точки , где она обращается в нуль. В пространстве переменных  уравнение  определяет параболоид с вершиной в начале координат. Линии уровня этой поверхности на плоскости  представляют собой эллипсы. Зададим произвольно малое . Построим на плоскости  круг  радиуса . Возьмем одну из линий уровня --- эллипс, целиком лежащий внутри круга . Построим другой круг  целиком лежащий внутри эллипса (рис. 3).

Пусть начальная точка  лежит внутри .

Рассмотрим функцию двух переменных . Легко видеть, что если вместо  подставить решение системы , то полученная таким образом, функция от  будет представлять собой полную производную функции  вдоль траектории решения системы . Если эта производная вдоль любой траектории, начинающейся в , неположительна, то это будет означать, что траектория не сможет покинуть , так как иначе между  и значением , при котором она попадет на границу , найдется значение , для которого , поскольку . То, что ни одна траектория, начинающаяся в , не покидает ни при одном  круг , означает устойчивость тривиального решения.

Итак, мы должны проверить знак  вдоль траектории. Для этого надо знать саму траекторию. Хотя в данном примере это можно сделать, но метод должен быть рассчитан на систему общего вида, для которого  нельзя выписать явно и тем самым нельзя проверить нужное неравенство. Поэтому мы будем требовать, чтобы функция  была неположительной как функция двух независимых переменных  по крайней мере в некоторой окрестности . Это условие можно проверить непосредственно по правым частям системы не зная решения. В нашем примере именно так и будет, поскольку  всюду на плоскости , а тем самым вдоль любой траектории, и устойчивость тривиального решения гарантирована. Функция  и есть функция Ляпунова для рассмотренного примера. Она имеет вид квадратичной формы, хотя в принципе можно было взять любую другую функцию, лишь бы она была положительной всюду, кроме точки , где она обращается в нуль, а выражение  было неположительное. Обратимся теперь к формулировке некоторых общих теорем, в основу которых положена эта идея. Будем исследовать тривиальное решение системы .

Все дальнейшие построения будем вести в некоторой -окрестности начала координат в фазовом пространстве. Пусть для определенности  задается неравенством , . Функция  (или короче ) называется  положительно определенной в , если  в , причем  тогда и только тогда, когда .

Приведем ряд утверждений, показывающих применение функций Ляпунова .