Постановка прямой спектральной задачи Колебания вала с одним диском
Определение собственных частот крутильных колебаний вала с дисками
Постановка прямой спектральной задачи Колебания вала с одним диском
Прямая задача: Определить собственные частоты крутильных колебаний вала, состоящего из п (п =1, 2, 3, 4,…) дисков с известными моментами инерции масс, укрепленных на стальном валу с известными жесткостями. Рассмотрение крутильных колебаний начнем с простейшего случая круглого вала постоянного сечения, несущего на свободном конце диск, верхний конец вала заделан (рис. 1). Пусть в силу каких-либо причин диск (маховик), изображенный на чертеже, получил в плоскости вращения, которой является плоскость, перпендикулярная чертежу, перемещения на угол . На тот же угол повернется и жестко связанный с диском вал. Представленная самой себе такая система будет совершать колебания, поддерживаемые силами упругости вала, заключающиеся в повторных вращательных движениях.
Рис. 1 Вал с одним диском
Известно, что колебания, представляющие ряд повторных вращательных перемещений от положения равновесия, называются колебаниями кручения или, крутильными. Установим величину нагрузки, вызывающей единицу статической деформации вала. Статической деформацией вала в данном случае будет угол закручивания, определяемый по известной формуле сопротивления материалов
(1.0)
где М — крутящий момент; —длина вала; Ip —полярный момент инерции вала;
— модуль касательной упругости. Нагрузкой, вызывающей единицу статической деформации, т. е. угол закручивания, равный одному радиану, будет из формулы (1.0) некоторый момент; будем обозначать этот момент буквой k и называть жесткостью вала на кручение.
(1.1)
Если вал повернется на угол , то в нем возникнет момент внутренних сил упругости, равный
(1.1а)
Этот момент по принципу Даламбера должен быть равен моменту сил инерции диска. (Массой вала мы пренебрегаем.) Если угловое ускорение обозначить
и момент инерции диска относительно продольной вертикальной оси вала
,
где Q —вес диска, D—его диаметр, g— ускорение силы тяжести. В случае кольцевого диска (шкив, колесо)
то момент сил инерции диска будет равен
(1.1b)
Уравнение движения тогда будет иметь вид:
Освобождаясь от коэффициента при дифференциале и обозначая
(1.2)
получим
(1.3)
Решение этого уравнения может быть представлено в виде:
(1.4)
по аналогии получаем:
(1.5)
Очевидно, что мы в данном случае получили простое гармоническое колебание. Круговая частота этого колебания (равная угловой скорости) будет
(1.2а)
и период колебания (1.6)
Формулы (1.2а) и (1.6) справедливы в окончательном виде только для сплошного диска постоянной толщины, в случае какого-либо другого диска частоту и период следует определять по формулам:
(1.2 )
и
. (1. )
Вычисляем в них соответствующий момент инерции диска по формулам теоретической механики. Рассмотрим теперь случай колебаний вала с диском (рис. 1), с учетом массы вала. Помимо полярного момента инерции сечения вала, воспользуемся выражением для экваториального момента инерции (массы) вала, известным из теоретической механики.
где I0 — экваториальный момент инерции, W — собственный вес вала, r —радиус вала. Если вес единицы объема вала, т. е. его удельный вес, обозначить , то I0 для круглого вала можно представить в виде:
(2.b) и экваториальный момент единицы длины вала
(2.c)
Для решения стоящей перед нами задачи удобнее всего воспользоваться уравнениями движения Лагранжа, поэтому, прежде всего, найдем кинетическую и потенциальную энергию нашей системы. Кинетическая энергия системы будет слагаться из кинетической энергии диска и кинетической энергии вала. Кинетическая энергия диска
Для нахождения кинетической Энергии вала сначала найдем кинетическую энергию элемента его dc. Если угол закручивания в сечении с обозначить , то кинетическая энергия элемента dc будет
так как если — момент инерции единицы длины, то I0'dc момент инерции элемента dc. Найдем зависимость между углом закручивания в сечении с- и в сечении
и откуда
или
и
Подставляя полученное значение в выражение кинетической энергии элемента dc, получим:
Полную кинетическую энергию вала найдем интегрированием:
Или заменяя на основе формул (b) и (с) на получим окончательно:
Полная кинетическая энергия системы
Потенциальная энергия системы
где M — крутящий момент, приложенный к валу. Для крутящего момента имеем выражение:
(1.1а)
Подставляя это значение в выражение для потенциальной энергии, получим:
(2.1)
Теперь можем составить дифференциальное уравнение колебательного движения нашего вала, что удобнее всего сделать в форме Лагранжа. В нашем случае за обобщенную координату необходимо принять угол закручивания , тогда уравнение Лагранжа примет вид:
в этом уравнении Находим значения частных производных, входящих в это уравнение:
Подставим полученные значения в уравнение Лагранжа
Освобождаясь от коэффициента при дифференциале и полагая
получим
т. е. известное нам уравнение (1.3), решение которого .
Частота этого колебательного движения
И период
(2.2)
Следовательно, для учета собственной массы вала, имеющего колебания, необходимо к моменту инерции диска, сидящего на валу, прибавить одну треть момента инерции вала. Рассмотрим случай вала, лежащего в двух подшипниках (влияние которых на колебания мы, в виду незначительности, не учитываем), несущего на концах два диска (маховика, шкива и т. д.) (рисунок 2).
Рис. 2 Вал с двумя дисками
Вал будет испытывать крутильные колебания только при условии вращения дисков в разные стороны, что может быть достигнуто приложением к дискам двух равных и прямо противоположных моментов. После удаления моментов в системе, состоящей из вала и двух; дисков, возникнут крутильные колебания. В каждый момент времени угловые скорости дисков будут направлены противоположно друг другу. Левый диск и некоторая часть вала, примыкающая к нему, будет вращаться, допустим, по часовой стрелке, а правый диск и его часть вала против часовой стрелки. В таком случае на валу обязательно должно быть сечение, в котором нет никакого вращения. Вал можно рассматривать как жестко заделанный в сечении, пт, причем, в нашем примере, левая часть вращается по часовой и правая против часовой стрелки. Сечение, остающееся во время колебания системы неподвижным, называется узлом колебания. Периоды колебаний одинаковые для обеих частей одного и того же вала могут быть найдены из формулы (1.6),
(2.3)
Задача, таким образом, сводится к определению расположения узла колебаний по длине вала, т. е. длин l1 и l2. Уравнение (2.3) показывает, что узел колебания делит вал обратно пропорционально моментам инерции дисков, т. е.
или
Второе уравнение для определения положения узла колебаний будет
Из уравнений получим и
и период колебания примет вид
(2.4)
частота колебаний будет:
(2.5)
Для изучения случаев колебания валов с большим числом дисков, чем два, удобнее в отличие от вышеприведенных случаев вала с одной и двумя массами найти уравнения движения вала с произвольным количеством масс и затем применять его для любого частного случая.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (209)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |