Применение метода решения обратной задачи, программная реализация решения

 

Рассмотрим применение метода решения обратной задачи по определению характеристик вала с дисками на конкретных примерах.

Пример 4

Известны собственные частоты крутильных колебаний вала с тремя дисками: , . Момент инерции массы первого диска  коэффициенты жесткости участков вала между дисками , .Найти моменты инерции масс второго и третьего дисков.

Решение.

Подставляя значения ,  в уравнение (2.20), получим систему двух уравнений с двумя неизвестными . Решение системы, найденное в пакете Maple, имеет вид: . Значения  определены верно, так как по решению прямой задачи именно этим моментам инерции соответствуют данные значения собственных частот.

Пример 5

По двум собственным частотам ,  крутильных колебаний вала с тремя дисками и известным моментам инерции  диагностировать коэффициенты жесткости участков вала на кручении.

Решение

Уравнение (2.17) при заданных значениях ,  представляет собой следующую систему:

 

 

из которой получаем, что , . Эти же значения коэффициентов получаются при подстановке значений собственных частот в аналитические формулы (3.2) и (3.3). Коэффициенты продиагностированы верно, так как именно этим коэффициентам при решении прямой задачи соответствовали заданные значения собственных частот.

Пример 6

Рассматривается вал с четырьмя дисками, для которого известны , , . По частотам  определить моменты инерции масс первых трех дисков.

Решение

Подставляя значения  в уравнение (2.20), получим систему трех уравнений с тремя неизвестными . Решение системы имеет вид .Значения  определены верно, так как по решению прямой задачи именно этим моментам инерции соответствуют данные значения собственных частот.

Рассмотрим программные реализации решений обратных задач.

Решение примера 4

> restart;

> i1:=0.2;

 

> k1:=0.1;

> k2:=0.2;

 

 

> p:=.8480705122;

 

> p:=1.667566013;

 

> p:=-1.667566013;

 

> t1:=.5172825777-.7192235937e-1*(i1+i2)/i1/i2-.1438447187*(i2+i3)/i2/i3+.2e-1*(i1+i2+i3)/i1/i2/i3 = 0;

 

> t2:=7.732717430-.2780776408*(i1+i2)/i1/i2-.5561552816*(i2+i3)/i2/i3+.2e-1*(i1+i2+i3)/i1/i2/i3 = 0;

 

> t3:=7.732717430-.2780776408*(i1+i2)/i1/i2-.5561552816*(i2+i3)/i2/i3+.2e-1*(i1+i2+i3)/i1/i2/i3 = 0;

 

> solve({t1,t2,t3},{i2,i3});

 

 

Решение примера 5

> restart;

> i1:=0.2;

> i2:=0.3;

> i3:=0.1;

> p:=.8480705122;

> p:=1.667566013;

> t1:=p^4-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3))*p^2+k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)=0;

> t2:=p^4-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3))*p^2+k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)=0;

> solve({t1,t2},{k1,k2});

Решение примера 6

> restart;

> i4:=0.2;

> k1:=0.1;

> k2:=0.2;

> k3:=0.3;

> p:=1.581138830;

> p:=2.417091066;

> p:=-1.581138830;

> t1:=p^6-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3)+k3*(i3+i4)/(i3*i4))*p^4+(k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)+k2*k3*(i2+i3+i4)/(i2*i3*i4)+k1*k3*(i1+i3+i4)/(i1*i3*i4))*p^2+k1*k2*k3(i1+i2+i3+i4)/(i1*i2*i3*i4)=0;

> t2:=p^6-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3)+k3*(i3+i4)/(i3*i4))*p^4+(k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)+k2*k3*(i2+i3+i4)/(i2*i3*i4)+k1*k3*(i1+i3+i4)/(i1*i3*i4))*p^2+k1*k2*k3(i1+i2+i3+i4)/(i1*i2*i3*i4)=0;

> t3:=p^6-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3)+k3*(i3+i4)/(i3*i4))*p^4+(k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)+k2*k3*(i2+i3+i4)/(i2*i3*i4)+k1*k3*(i1+i3+i4)/(i1*i3*i4))*p^2+k1*k2*k3(i1+i2+i3+i4)/(i1*i2*i3*i4)=0;

> solve({t1,t2,t3},{i1,i2,i3});

Заключение

 

В работе исследована и решена прямая задача определения собственных частот крутильных колебаний вала с дисками по известным моментам инерции масс дисков и коэффициентов жесткости участков вала на кручении. Решение сведено к системе n обыкновенных уравнений относительно неизвестных собственных частот крутильных колебаний вала. Из этой системы получены частотные уравнения для вала с двумя, тремя, четырьмя дисками. Сделаны соответствующие вычисления, составлена программа в математическом пакете Maple.

Впервые приведена постановка обратной спектральной задачи диагностирования характеристик вала с дисками по спектру частот его колебаний. Алгоритм диагностирования сводится к решению систем алгебраических уравнений. Рассмотрены диагностирования моментов инерции масс дисков по собственным частотам колебаний вала. Задача решена для вала с тремя, четырьмя дисками. Эти характеристики однозначно определяются для двух дисков вала с тремя дисками при известном моменте инерции массы третьего диска. Показано, что для вала с тремя дисками достаточно знание двух собственных частот колебаний вала. Причем, численные решения показывают возможность определения моментов инерции масс любых двух дисков (при известном моменте третьего диска), независимо от их взаимного расположения.

Аналогичная задача решена для вала с четырьмя дисками.

Диагностируются также коэффициенты жесткостей участков вала при кручении между дисками. Для вала с тремя дисками коэффициенты жесткостей восстанавливаются по двум собственным частотам. Для решения обратных задач составлены программы в математическом пакете Maple. Полученные результаты обратных задач подтверждают справедливость решений прямых задач.

Список литературы

 

1. Введение в акустическую динамику машин: учеб.пос./ И.И. Артоболевский [и др]. - М.: Наука, 1979. - 295c.

2. Ахатов И.Ш., Ахтямов А.М. Определение вида закрепления стержня по собственным частотам его изгибных колебаний // Прикладная математика и механика. - 2001. - Вып. 2. C. 290-298.

3.  Ахтямов, А.М. Диагностирование закрепления кольцевой пластины по собственным частотам ее колебаний / А.М. Ахтямов // Известия РАН. МТТ. - 2003. - №6. - C.137-147.

4. Ахтямов, А.М. К единственности решения одной обратной спектральной задачи / А.М. Ахтямов // Дифференциальные уравнения. - 2003. - №8. - C. 1011-1015.

5. Ахтямов, А.М. Распознавание закрепления кольцевой мембраны по собственным частотам ее колебаний / А.М. Ахтямов // Известия РАЕН. Серия МММИУ. Т.5. -2001. - №3. - C. 103-110.

6. Бабаков, И.В. Теория колебаний /И.В. Бабаков - М: Дрофа, 2004.

7. Биргер, И.А. Техническая диагностика /И.А. Биргер - М.: Машиностроение, 1978. - 239с.

8.  Васильев, Н.А. Экспериментальные исследования колебательных характеристик железнодорожных шпал /Н.А.Васильев// Акустический журнал. - 2000. - №3. - C. 424-426.

9. Вибрации в технике: Справочник. Т.1. Колебания линейных систем / Под ред. В.В. Болотина, 1978.

10. Снижение шума на судах: учеб.пос. / В.И. Зинченко [и др]. - Л.: Судостроение, 1968.

11. Коллатц. Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями): учеб.пос./Л. Коллатц – М.: Наука, 1968.

12. Кузьмин Р.В. Дифектация судовых механизмов. - М.: Транспорт, 1967. - 174с.

13.  Лапин, А.Д. Резонансный поглотитель изгибных волн в стержнях и пластинах /А.Д.Лапин// Акустический журнал. - 2002. - №2. - C. 277-280.

14. Павлов, Б.В. Акустическая диагностика механизмов /Б.В.Павлов - М.: Машиностроение, 1971.

15. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трех томах. /Под ред. И.А. Биргера, Я.Г. Пановко. - М: Машиностроение, 1968.

16.  Сафина, Г.Ф. Диагностирование закреплений трубопровода с жидкостью /Г.Ф. Сафина// Управление. Контроль. Диагностика. -2006. -№ 3.

17.  Сафина, Г.Ф. Диагностирование относительной жесткости подкрепленных цилиндрических оболочек по собственным частотам их асимметричных колебаний /Г.Ф. Сафина// / Контроль. Диагностика. - 2005. - №12. - С. 55-59.

18.  Сафина, Г.Ф. Определение относительной жесткости упругих краевых ребер трубопровода, наполненного жидкостью /Г.Ф.Сафина// Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2005. - Т.12, вып.2. - С. 503-504.

19.  Тукмаков, А.Л. О распознавании объектов на основе анализа акустического отклика при помощи функции числа состояний динамической системы /А.Л. Тукмаков// Авиационная техника. - 2003. - №1. - C. 62-67.