Некоторые базисные леммы
В теории конечных групп одним из основных понятий является понятие субнормальности подгрупп, введенное Виландтом в работе [73]. Напомним, что подгруппа называется субнормальной подгруппой группы , если существует цепь подгрупп
такая, что для любого подгруппа нормальна в . Естественным обобщением понятия субнормальности является понятие -субнормальности, которое для произвольных конечных групп впервые введено Л.А. Шеметковым в монографии [44]. Пусть --- непустая формация. Подгруппу группы называют -субнормальной, если либо , либо существует максимальная цепь
такая, что для всех . Несколько другое понятие -субнормальности введено Кегелем в работе [69]. Фактически оно объединяет понятие субнормальности и -субнормальности в смысле Шеметкова. Подгруппу называют -субнормальной в смысле Кегеля или -достижимой, если существует цепь подгрупп
такая, что для любого либо подгруппа нормальна в , либо . Для любой непустой формации множество всех -достижимых подгрупп произвольной группы содержит множество всех субнормальных подгрупп группы и множество всех -субнормальных подгрупп группы . Если же --- непустая нильпотентная формация, то множество всех -достижимых подгрупп в точности совпадает с множеством всех субнормальных подгрупп для любой группы . В Коуровской тетради [10] Л.А. Шеметковым была поставлена проблема классификации сверхрадикальных формаций. Напомним, что формация называется сверхрадикальной, если она удовлетворяет следующим требованиям: 1) --- нормально наследственная формация; 2) любая группа , где и --- -субнормальные -подгруппы из , принадлежит . В.Н. Семенчуком в работе [28] в классе конечных разрешимых групп было получено полное решение данной проблемы. В данной главе получено полное решение проблемы Шеметкова для наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы В данном разделе приводятся некоторые свойства критических групп (минимальных не -групп) и обобщенно субнормальных ( -субнормальных и -достижимых) подгрупп, которые будут использоваться при доказательстве основных результатов диссертации. Напомним, что критической группой формации ( минимальной не -группой) называется группа, не принадлежащая , все собственные подгруппы которой принадлежат . Множество всех таких групп обозначают . Через обозначают множество всех разрешимых групп, а через --- множество всех групп, у которых -корадикал разрешим. 1.1 Лемма. Пусть --- насыщенная формация, --- наследственная насыщенная формация. Если и , где , то . Доказательство. Пусть . По теореме 2.2.1, --- -группа. Очевидно, что . По лемме 2.2.2, , где --- -группа, --- -группа и . Так как и , то . Следовательно, --- -группа. Пусть --- -главный фактор . Если --- -группа, то -централен. Пусть --- -группа. По теореме 2.2.3, . Пусть и --- произвольная -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда . Так как , то, по теореме 2.2.4, . Следовательно, . Поскольку
то . Учитывая, что , по теореме 2.2.5, имеем
где --- максимальные внутренние локальные экраны, соответственно и . Если , то . Отсюда и из того, что
следует . А это значит, что -централен. Пусть . Так как --- насыщенная формация и , то . Следовательно, --- -нормализатор группы . В силу того, что покрывает , то -централен. Следовательно, . По теореме 2.2.4, . Лемма доказана. 1.2 Лемма. Пусть --- непустая наследственная формация. Если --- -субнормальная подгруппа, то --- субнормальная подгруппа. Доказательство. Пусть --- -субнормальная подгруппа группы . Если , то лемма очевидна. Пусть . Тогда содержится в максимальной -нормальной подгруппе группы . По индукции, --- субнормальная подгруппа из . Так как и --- наследственная формация, то . Следовательно, , значит, . Поскольку --- нормальная подгруппа группы , то --- субнормальная подгруппа . Лемма доказана. 1.3 Лемма. Пусть --- наследственная насыщенная формация, --- -субнормальная подгруппа группы такая, что . Тогда . Доказательство. Пусть . Очевидно,
Так как , то по индукции . Следовательно,
Отсюда, согласно лемме 2.2.6,
Пусть . Тогда --- цоколь группы . По лемме 3.1.2, --- субнормальная подгруппа группы . По теореме 2.2.7, . Следовательно, --- нормальная подгруппа группы . Тогда
По теореме 2.2.8, . Отсюда следует, что . Так как и --- наследственная формация, то . Получаем , т. е. . Лемма доказана. В следующих леммах приводятся основные свойства -субнормальных подгрупп. 1.4 Лемма. Пусть --- непустая наследственная формация. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) если --- подгруппа группы и , то --- -субнормальная ( -достижимая) подгруппа группы ; 2) если --- -субнормальная ( -достижимая) подгруппа группы , то --- -субнормальная ( -достижимая) подгруппа для любой подгруппы группы ; 3) если --- -субнормальная ( -достижимая) подгруппа и --- -субнормальная ( -достижимая) подгруппа группы , то --- -субнормальная ( -достижимая) подгруппа группы ; 4) если и --- -субнормальные ( -достижимые) подгруппы группы , то --- -субнормальная ( -достижимая) подгруппа группы ; 5) если все композиционные факторы группы принадлежат формации , то каждая субнормальная подгруппа группы -субнормальна в ; 6) если --- -субнормальная ( -достижимая) подгруппа группы , то -субнормальна ( -достижима) в для любых . Доказательство. 1) Пусть --- подгруппа группы и . Так как и --- наследственная формация, то подгруппа является -субнормальной подгруппой группы . Отсюда, согласно определению -субнормальной подгруппы, существует максимальная цепь
такая, что для всех . Отсюда, с учетом леммы 2.2.6 получаем, что в группе существует максимальная цепь
такая, что для всех . А это значит, что --- -субнормальная подгруппа группы . Пусть --- подгруппа группы , содержащая , тогда --- -субнормальная подгруппа группы . А так как любая -субнормальная подгруппа группы является -достижимой в , то --- -достижимая подгруппа группы . 2) Пусть --- -субнормальная подгруппа группы . Тогда, по определению, существует максимальная цепь подгрупп
такая, что для любого . Пусть --- некоторая подгруппа из . Рассмотрим цепь подгрупп
Так как и формация наследственна, то из следует, что
Теперь, ввиду изоморфизма,
имеем . Значит, . Так как , то . Итак, . Отсюда, по определению, --- -субнормальная подгруппа группы . Пусть --- -достижимая подгруппа группы . Тогда, по определению, существует цепь подгрупп
такая, что для любого либо подгруппа нормальна в , либо . Пусть --- некоторая подгруппа из . Рассмотрим цепь подгрупп:
Если подгруппа нормальна в , то подгруппа нормальна в . Пусть . Так как формация наследственна, то из следует, что
Теперь, ввиду изоморфизма,
имеем . Значит, . Так как , то . Итак, для каждого либо подгруппа нормальна в , либо . Отсюда, по определению, --- -достижимая подгруппа группы . Утверждение 3) следует непосредственно из определения -субнормальной ( -достижимой) подгруппы. Утверждение 4) следует теперь из утверждений 2) и 3). 5) Пусть все композиционные факторы группы принадлежат формации , и пусть --- субнормальная подгруппа группы . Тогда в группе существует цепь подгрупп
такая, что для любого подгруппа нормальна в . Согласно условию, , отсюда следует, что . А это значит, что подгруппа -субнормальна в группе . Утверждение 6) следует непосредственно из определения -субнормальной ( -достижимой) подгруппы. Лемма доказана. 1.5 Лемма. Пусть --- непустая формация, и --- подгруппы группы , причем нормальна в . Тогда: 1) если -субнормальна ( -достижима) в , то -субнормальна ( -достижима) в и -субнормальна ( -достижима) в ; 2) если , то -субнормальна ( -достижима) в тогда и только тогда, когда -субнормальна ( -достижима) в . Доказательство. Пусть --- -субнормальная подгруппа группы . Тогда, по определению, существует максимальная цепь подгрупп
такая, что для любого . Рассмотрим следующую цепь подгрупп
Так как , то ввиду леммы 2.2.6, . Отсюда следует, что
Итак, для каждого . Отсюда, по определению, --- -субнормальная подгруппа группы . Ввиду леммы 2.2.6,
Поэтому для любого . Значит, --- -субнормальная подгруппа группы . Пусть --- -достижимая подгруппа группы . Тогда, по опрeделению, существует цепь подгрупп
такая, что для любого либо нормальна в , либо . Рассмотрим следующую цепь подгрупп
Если подгруппа нормальна в , то подгруппа нормальна в . Пусть . Тогда ввиду леммы 2.2.6, . Отсюда следует, что . Итак, для каждого либо подгруппа нормальна в , либо . Отсюда, по определению, --- -достижимая подгруппа группы . Ввиду леммы 2.2.6, . Поэтому для любого либо подгруппа нормальна в , либо . Значит, --- -достижимая подгруппа группы . Утверждение 2) следует из 1) и леммы 2.2.6. Лемма доказана.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (181)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |