Сверхрадикальные формации

В теории формаций конечных групп одной из известных проблем является проблема Шеметкова об описании сверхрадикальных формаций.

В.Н. Семенчуком в работе [28] получено полное решение проблемы Л.А. Шеметкова в классе конечных разрешимых групп. Оказалось, что все такие формации имеют следующее строение: , где  --- некоторые множества простых чисел, а  --- множество всех разрешимых -групп.

В данном разделе приводится описание наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, критические группы которых разрешимы.

Приведем примеры сверхрадикальных формаций.

3.1 Пример. Формация всех -групп , где  --- некоторое множество простых чисел является сверхрадикальной формацией.

Действительно. Пусть , где  и  --- -группы,  и  --- -субнормальные подгруппы группы . Так как формация  замкнута относительно расширений, то, очевидно, что  --- -группа.

3.2 Пример. Формации ,  --- сверхрадикальные формации.

Действительно, если  --- -субнормальная подгруппа группы , то  --- субнормальная подгруппа из . Очевидно, что любая группа , где  и  --- нильпотентные субнормальные подгруппы из , нильпотентна.

Если  --- разрешимая -субнормальная подгруппа из , то  разрешима. Следовательно,  --- сверхрадикальная формация.

Аналогичным образом доказывается, что любая нормально наследственная, замкнутая относительно расширений, формация является сверхрадикальной.

Следующая лемма устанавливает связь между сверхрадикальными формациями и формациями Фиттинга.

Напомним, что формациями Фиттинга  называются формации, которые замкнуты относительно взятия субнормальных подгрупп и произведения нормальных -подгрупп.

3.3 Лемма. Пусть  --- наследственная сверхрадикальная формация, тогда  --- формация Фиттинга.

Доказательство. Пусть , где  и  --- нормальные -подгруппы группы . Так как

то . Аналогичным образом, . Согласно лемме 3.1.4,  и  --- -субнормальные подгруппы группы . Так как  --- сверхрадикальная формация, то . Итак,  --- формация Фиттинга. Лемма доказана.

3.4 Лемма. Пусть  --- непустая наследственная формация. Если  содержит любую группу , где для любого  из  силовские -подгруппы  и  принадлежат  и -субнормальные подгруппы в , то  --- сверхрадикальная формация.

Доказательство. Пусть  --- непустая наследственная формация, удовлетворяющая условию леммы. Покажем, что  --- сверхрадикальная формация. Пусть , где  и  --- -субнормальные -подгруппы группы . Пусть  --- произвольное простое число из , а  и  --- силовские -подгруппы из  и  соответственно. Так как  и  принадлежат  и  --- наследственная формация, то  и  принадлежат  и,  и -субнормальны в  и  соответственно. Так как  и  --- -субнормальные подгруппы группы , то согласно лемме 3.1.4,  и -субнормальны в группе . Согласно условию леммы,  принадлежит . А это значит, что  --- сверхрадикальная формация. Лемма доказана.

3.5 Лемма. Пусть  --- наследственная насыщенная разрешимая формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1)  --- сверхрадикальная формация;

2)  --- содержит любую группу , где  и для любого простого числа  из  силовские -подгруппы  и -субнормальны в .

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).

Пусть  --- сверхрадикальная формация и пусть , где  и для любого простого числа  из  и  --- -субнормальные подгруппы группы . Так как  --- насыщенная формация и , то  и  принадлежат . Так как  --- разрешимая формация и  --- -субнормальная подгруппа группы , то отсюда нетрудно показать, что  --- разрешимая группа. А это значит, что  и  разрешимы.

Согласно теореме Ф. Холла [63], , где . Так как  --- сверхрадикальная формация, то  принадлежит . Так как  и  --- -субнормальные подгруппы группы , то согласно теореме 2.2.10,  --- -субнормальная подгруппа группы . Так как  принадлежит  и  --- сверхрадикальная формация, то подгруппа  принадлежит . Продолжая в аналогичном порядке получаем, что  принадлежит . Аналогичным образом можем доказать, что  принадлежит . Так как  --- сверхрадикальная формация, то .

Тот факт, что из 2) следует 1) вытекает из леммы 3.3.4. Лемма доказана.

В следующей теореме получено решение проблемы Шеметкова о классификации сверхрадикальных формаций для наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы.

3.6 Теорема [20-A]. Пусть  --- наследственная насыщенная формация такая, что . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1)  --- сверхрадикальная формация;

2) , где  --- некоторые множества простых чисел.

Доказательство. Пусть  --- сверхрадикальная формация. Вначале докажем, что любая минимальная не -группа является либо группой простого порядка, либо группой Шмидта.

Пусть  --- произвольная минимальная не -группа. Согласно условию теоремы,  разрешима. Если , то нетрудно заметить, что  --- группа простого порядка , где .

Рассмотрим случай, когда . Согласно теореме 2.2.5, , где  --- единственная минимальная нормальная подгруппа из ,  --- -группа, ,  --- максимальный внутренний локальный экран формации . Очевидно, что .

Покажем, что  является примарной циклической подгруппой. Предположим противное. Поскольку  --- разрешимая группа, то в  существуют максимальные подгруппы  и  такие, что . Так как , то очевидно, что  и  --- -нормальные максимальные -подгруппы группы . Но тогда . Так как  --- сверхрадикальная формация, то . Противоречие. Итак,  имеет единственный класс максимальных сопряженных подгрупп. Следовательно,  --- циклическая -подгруппа. Поскольку  --- насыщенная формация и , имеем .

Покажем, что . Предположим противное. Пусть , где . Пусть  и  --- циклические группы соответственно порядков  и . Обозначим через  регулярное сплетение . Пусть  --- база сплетения, т. е. . Так как некоторая подгруппа группы  изоморфна , то . Очевидно, подгруппы ,  принадлежат формации .

Пусть , где . Обозначим через  базу сплетения . Тогда .

Так как , то , значит, что подгруппы  и -субнормальны в . Легко видеть, что , .

Так как  --- сверхрадикальная формация, то . Но , и поэтому .

Полученное противоречие показывает, что . Итак,  --- группа Шмидта. Теперь из леммы 3.1.1 следует, что  --- группа Шмидта.

Пусть  --- максимальный внутренний локальный экран формации . Покажем, что формация  имеет полный локальный экран  такой, что , для любого  из . Действительно, пусть  --- такая формация, у которой есть локальный экран . Покажем, что .

С учетом того, что  для любого простого  из , получим .

Покажем обратное включение. Пусть  --- группа наименьшего порядка из . Так как  --- наследственная формация, то формация  также является наследственной, значит, . Так как  --- насыщенная формация, то нетрудно показать, что .

Выше показано, что  --- либо группа простого порядка, либо группа Шмидта. Пусть  --- группа простого порядка и . Нетрудно показать, что . Так как , имеем . Отсюда следует, что . Противоречие.

Пусть теперь  --- группа Шмидта. Поскольку , то из свойств группы Шмидта следует , где  и . Так как , то . Из того, что , следует . Так как  и  --- наследственная формация, то . Теперь из того, что , где  --- единственная минимальная нормальная подгруппа группы  и , следует что . Получили противоречие. Итак, , значит, .

Так как  --- локальный экран формации , имеем

следовательно,  --- формация из 2).

Пусть . Тогда из следствия 3.2.5 следует, что  --- сверхрадикальная формация. Теорема доказана.

Покажем, что в теореме 3.3.6 условие наследственной насыщенной формации  можно отбросить, в случае, когда  --- разрешимая формация.

3.7 Лемма. Пусть  --- разрешимая нормально наследственная формация. Если  и , то .

Доказательство. Пусть  и . Если , то утверждение леммы очевидно. Пусть . Пусть  --- нормальная максимальная подгруппа группы . Если , то .

Пусть . Ясно, что . Так как  и  --- нормально наследственная формация, то . Индукцией по порядку группы  получаем, что . Лемма доказана.

Если  --- произвольный класс групп, то через  обозначим наибольший по включению наследственный подкласс класса . Более точно

3.8 Лемма. Всякая разрешимая сверхрадикальная формация является наследственной формацией.

Доказательство. Пусть  --- разрешимая сверхрадикальная формация. Как и в теореме 3.3.6 нетрудно показать, что любая разрешимая минимальная не -группа является группой Шмидта, либо группой простого порядка.

Покажем, что , где  --- максимальная наследственная подформация из . Допустим, что множество  непусто и выберем в нем группу  наименьшего порядка. В силу леммы 2.2.11, формация  является насыщенной. Поэтому . Очевидно, что группа  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу  и . Так как , то в  найдется минимальная не -группа . Из нормальной наследственности формации  следует, что . Ясно, что  является также минимальной не -группой.

По условию,  --- группа Шмидта. В этом случае , где  --- нормальная силовская -подгруппа, а  --- циклическая -подгруппа группы ,  и  --- различные простые числа.

Если , то

Получили противоречие с выбором . Остается принять, что . Отсюда и из  получаем, что , а значит,  --- -группа. Рассмотрим . Тогда группу  можно представить в виде

где  --- элементарная абелева -группа, а . Так как  не входит в , то по лемме 2.2.12 , где  --- максимальный внутренний локальный экран формации . Так как  и , то  является -группой. Отсюда следует, что . Из нормальной наследственности формации , по теореме 2.2.13, следует, что  является нормально наследственной формацией. Тогда, по лемме 3.3.7, . Получили противоречие. Таким образом, . Лемма доказана.

Напомним, что формация  называется формацией Шеметкова, если любая минимальная не -группа является либо группой Шмидта, либо группой простого порядка.

3.9 Теорема [16-A]. Пусть  --- наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1)  --- формация Шеметкова;

2) формация  содержит любую группу , где  и  --- -достижимые -подгруппы из  и ;

3)  --- сверхрадикальная формация и ;

4) формация  такая, что для любой группы  и для любых ее перестановочных -субнормальных подгрупп  и  подгруппа -субнормальна в  и ;

5) формация  такая, что для любой группы  и для любых ее перестановочных -достижимых подгрупп  и  подгруппа -достижима в  и ;

6) , где  --- некоторые множества простых чисел и .

Доказательство следует из теорем 2.2.14, 2.2.15 и теоремы 3.3.6.

3.10 Теорема [3-A, 5-A]. Пусть  --- наследственная насыщенная формация такая, что . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) формация  содержит любую группу , где  и  --- -субнормальны в G и ;

2) , где  --- некоторые множества простых чисел.

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).

Пусть  --- формация, удовлетворяющая утверждению 1). Покажем, что она является сверхрадикальной формацией. Пусть  --- любая группа такая, что , где  и  --- -субнормальные подгруппы группы , принадлежащие . Пусть  и  произвольные -силовские подгруппы из  и  соответственно. Так как ,  и  --- наследственная формация, то  и -субнормальны соответственно в  и . Так как  и -субнормальны в , то по лемме 3.1.4,  и -субнормальны в группе . Отсюда следует, что . Следовательно,  --- сверхрадикальная