Перечень условных обозначений
Рассматриваются только конечные группы. Вся терминология заимствована из [44, 47].
--- множество всех натуральных чисел; --- множество всех простых чисел; --- некоторое множество простых чисел, т. е. ;
---
дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ; примарное число --- любое число вида . Буквами обозначаются простые числа. Пусть --- группа. Тогда: --- порядок группы ;
---
множество всех простых делителей порядка группы ; -группа --- группа , для которой ; -группа --- группа , для которой ; --- коммутант группы , т. е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ; --- подгруппа Фиттинга группы , т. е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ; --- наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ; --- подгруппа Фраттини группы , т. е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ; --- наибольшая нормальная -подгруппа группы ; --- -холлова подгруппа группы ; --- силовская -подгруппа группы ; --- дополнение к силовской -подгруппе в группе , т. е. -холлова подгруппа группы ; --- нильпотентная длина группы ; --- -длина группы ; --- минимальное число порождающих элементов группы ; --- цоколь группы , т. е. подгруппа, порожденная всеми минимальными нормальными подгруппами группы ; --- циклическая группа порядка . Если и --- подгруппы группы , то : --- является подгруппой группы ; --- является собственной подгруппой группы ; --- является нормальной подгруппой группы ;
--
- ядро подгруппы в группе , т. е. пересечение всех подгрупп, сопряженных с в ; --- нормальное замыкание подгруппы в группе , т. е. подгруппа, порожденная всеми сопряженными с подгруппами группы ; --- индекс подгруппы в группе ;
;
--- нормализатор подгруппы в группе ; --- централизатор подгруппы в группе ; --- взаимный коммутант подгрупп и ; --- подгруппа, порожденная подгруппами и . Минимальная нормальная подгруппа группы --- неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы ; --- является максимальной подгруппой группы . Если и --- подгруппы группы , то: --- прямое произведение подгрупп и ; --- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ; --- и изоморфны; --- регулярное сплетение подгрупп и . Подгруппы и группы называются перестановочными, если . Группу называют: -замкнутой, если силовская -подгруппа группы нормальна в ; -нильпотентной, если -холлова подгруппа группы нормальна в ; -разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы; -сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой; нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны; разрешимой, если существует номер такой, что ; сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами. Монолитическая группа --- неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу. -замкнутая группа --- группа, обладающая нормальной холловской -подгруппой. -специальная группа --- группа, обладающая нильпотентной нормальной холловской -подгруппой. -разложимая группа --- группа, являющаяся одновременно -специальной и -замкнутой. Группа Шмидта --- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны. Добавлением к подгруппе группы называется такая подгруппа из , что . Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу. Ряд подгрупп называется: субнормальным, если для любого ; нормальным, если для любого ; главным, если является минимальной нормальной подгруппой в для всех . Класс групп --- совокупность групп, содержащая с каждой своей группой и все ей изоморфные группы. -группа --- группа, принадлежащая классу групп . Формация --- класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений. Если --- класс групп, то: --- множество всех простых делителей порядков всех групп из ; --- множество всех тех простых чисел , для которых ; --- формация, порожденная классом ; --- насыщенная формация, порожденная классом ; --- класс всех групп , представимых в виде
где , ;
;
--- класс всех минимальных не -групп, т. е. групп не принадлежащих , но все собственные подгруппы которых принадлежат ; --- класс всех -групп из ; --- класс всех конечных групп; --- класс всех разрешимых конечных групп; --- класс всех -групп; --- класс всех разрешимых -групп; --- класс всех разрешимых -групп; --- класс всех нильпотентных групп; --- класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной . Если и --- классы групп, то:
.
Если --- класс групп и --- группа, то: --- пересечение всех нормальных подгрупп из таких, что ; --- произведение всех нормальных -подгрупп группы . Если и --- формации, то: --- произведение формаций;
--- пересечение всех -абнормальных максимальных подгрупп группы . Если --- насыщенная формация, то: --- существенная характеристика формации . -абнормальной называется максимальная подгруппа группы , если , где --- некоторая непустая формация. -гиперцентральной подгруппой в называется разрешимая нормальная подгруппа группы , если обладает субнормальным рядом таким, что (1) каждый фактор является главным фактором группы ; (2) если порядок фактора есть степень простого числа , то . --- -гиперцентр группы , т. е. произведение всех -гиперцентральных подгрупп группы .
Введение
Вопросы, посвященные факторизации групп, в теории конечных групп занимают важное место. Под факторизацией конечной группы понимается представление ее в виде произведения некоторых еe подгрупп, взятых в определенном порядке, или попарно перестановочных. Исследуются как способы факторизации заданной группы, так и свойства групп, допускающих ту или иную заданную факторизацию. Начало исследований по факторизации конечных групп восходит к классическим работам Ф. Холла [62, 63], посвященных изучению строения разрешимых групп. Как известно, Ф. Холлом было доказано [63], что конечная разрешимая группа допускает факторизацию при помощи некоторых своих перестановочных силовских подгрупп различных порядков (составляющих так называемую силовскую базу разрешимой группы). Следующий важный шаг в данном направлении был сделан С.А.Чунихиным, которым был исследован ряд важных арифметических свойств конечных групп [43]. Вопросами факторизации конечных групп занималось много математиков, и развитию данного направления посвящено много научных работ известных математиков. Кегель и Виландт [68, 75] установили, что конечная группа, факторизуемая двумя нильпотентными подгруппами разрешима. Теорема Кегеля --- Виландта послужила источником многочисленных обобщений и стимулировала дальнейшее развитие ряда вопросов, связанных с факторизациями конечных групп. Cреди дальнейших исследований, посвященных факторизации групп, выделяются работы Л.С. Казарина [6, 7, 67], Л.А. Шеметкова [45, 46], В.С. Монахова [13, 14], А.Н. Скибы [12, 61], В.Н. Тютянова [38] и др. Важную роль для дальнейшего строения факторизуемых групп оказала идея Гашюца о том [59], что внутреннее строение конечной группы удобно исследовать по отношению к некоторому фиксированному классу групп, названному Гашюцем насыщенной формацией. Напомним, что насыщенной формацией конечных групп называется класс конечных групп, замкнутый относительно гомоморфных образов, подпрямых произведений и фраттиниевых расширений. Такой подход к изучению строения конечных групп привлек внимание многих специалистов по алгебре и исследования, связанные с насыщенными формациями, составили одно из доминирующих направлений современной теории классов групп. Эффективность метода Гашюца проявилась прежде всего в том, что многие коренные свойства конечных групп имеют инвариантный характер при переходе от одной насыщенной формации к другой. Известно, что класс нильпотентных групп замкнут относительно произведения нормальных подгрупп. В работе [64] Хоуксом была поставлена задача об описании наследственных разрешимых формаций Фиттинга, т. е. формаций , замкнутых относительно произведения нормальных -подгрупп. Брайс и Косси в работе [53] доказали, что любая разрешимая наследственная формация Фиттинга является насыщенной. Полное решение проблемы Хоукса было получено В.Н. Семенчуком в работах [27, 30]. Развивая подход Хоукса, Л.А. Шеметков предложил изучать формации , замкнутые относительно произведения -подгрупп, обладающих некоторыми заданными свойствами. В настоящее время данная тематика активно развивается математиками Испании, Китая, Беларуси. В теории классов конечных групп естественным обобщением понятия субнормальности является понятие -субнормальности и -достижимости. В дальнейшем такие подгруппы будем нызывать обобщенно субнормальными. Одной из первых классификационных проблем данного направления является проблема Л.А. Шеметкова об описании наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, т. е. формаций с тем свойством, что любая группа , где и -- -субнормальные -подгруппы, принадлежит . Данная проблема сразу привлекла пристальное внимание специалистов по теории классов конечных групп. В работе [28] В.Н. Семенчуком в классе конечных разрешимых групп получено полное решение данной проблемы. Л.А. Шеметковым и В.Н. Семенчуком в работе [33] найдены серии произвольных наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций. Известно, что формация всех сверхразрешимых групп не замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп, но замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп взаимно простых индексов. В связи с этим возникает задача об описании наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения обобщенно субнормальных ( -субнормальных, -достижимых) -подгрупп, индексы которых взаимно просты. Классифицировать наследственные насыщенные формации с тем свойством, что любая группа , где и --- -субнормальные -подгруппы взаимно простых индексов, принадлежит . В 1996 году В.Н. Тютянов в работе [38] доказал, что любая конечная группа вида , где и --- -нильпотентные подгруппы и индексы , не делятся на некоторое простое число , является -нильпотентной группой. Естественно возникает задача об описании наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения -подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое фиксированное простое число. В попытках решения этих и других классификационных проблем выявилась особая роль критических групп формации ( минимальных не -групп), т. е. групп, не принадлежащих некоторому классу групп , но все собственные подгруппы которых принадлежат . Еще в 1933 году С.А. Чунихин [40] поставил задачу изучения строения группы, в зависимости от свойств ее критических подгрупп. Развивая данную идею С.А. Чунихина, Л.А. Шеметков на восьмом (Сумы, 1982 г.) и девятом (Москва, 1984 г.) Всесоюзных симпозиумах по теории групп отметил особую роль критических групп при изучении не только отдельной группы, но и при описании классов групп. Таким образом, задача классификации наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения -подгрупп, обладающих заданными свойствами, занимает важное место в современной теории классов групп. На реализацию этой актуальной задачи и направлено данное диссертационное исследование.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (184)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |