Критерий принадлежности факторизуемой группы классическим классам конечных групп
В работе [3] А.Ф. Васильевым была предложена задача об описании наследственных насыщенных формаций, замкнутых относительно произведения подгрупп и , у которых любая силовская подгруппа -субнормальна в . В этой же работе было получено описание таких формаций в классе конечных разрешимых групп. Развитию данного направления были посвящены работы [4, 16]. В данном разделе найдены серии наследственных насыщенных формаций, не входящих в класс конечных разрешимых групп, обладающих отмеченным выше свойством. В теории классов групп важную роль играет класс всех -групп ( --- некоторое множество простых чисел), который обозначается через . Большинство важнейших классов групп можно построить из классов вида с помощью операций пересечения и произведения классов. Напомним, что произведением классов групп и называется класс групп , который состоит из всех групп , таких, что в найдется нормальная -подгруппа с условием . Пусть --- множество всех натуральных чисел. Обозначим через некоторое подмножество из . Пусть , --- некоторые множества простых чисел, а , --- классы всех -групп и -групп соответственно. В дальнейшем рассматриваем формации вида:
Напомним, что группа называется -замкнутой ( -нильпотентной), если ее силовская -подгруппа (силовское -дополнение) нормальна в . Группа называется -разложимой, если она одновременно -замкнута и -нильпотентна. Через обозначим дополнение к во множестве всех простых чисел, если , то вместо будем просто писать . Тогда --- класс всех -нильпотентных групп, --- класс всех -замкнутых групп, --- класс всех -разложимых групп, --- класс всех нильпотентных групп, где пробегает все простые числа. Группа называется -нильпотентной ( -разложимой), если она -нильпотентна ( -разложима) для любого простого числа из . Классы всех -нильпотентных ( -разложимых) групп можно записать в виде
Группа называется -замкнутой, если она имеет нормальную -холлову подгруппу. Тогда --- класс всех -замкнутых групп. 2.1 Лемма. Пусть --- наследственная формация. Если --- -субнормальная -подгруппа группы , то композиционные факторы группы содержатся среди композиционных факторов групп из . Доказательство. Если , то лемма верна. Пусть . Тогда содержится в -нормальной максимальной подгруппе группы . По индукции, . Так как , то . Отсюда, и из , получаем . Лемма доказана. 2.2 Лемма. Пусть --- наследственная формация, --- класс всех групп. Тогда формация совпадает с формацией . Доказательство леммы осуществляется непосредственной проверкой. 2.3 Теорема [10-A, 13-A]. Пусть --- наследственная формация. Тогда всякая формация , представимая в виде , содержит любую группу , у которой и силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в . Доказательство. Пусть --- формация указанного вида и --- такая группа, что , где и любая силовская подгруппа из и -субнормальна в . Индукцией по порядку докажем, что . Рассмотрим сначала случай, когда --- класс всех групп. Пусть --- минимальная нормальная подгруппа из . Ясно, что любая силовская подгруппа из и имеет вид , , где и --- силовские подгруппы из и соответственно. Согласно лемме 3.1.5, и --- -субнормальные подгруппы фактор-группы . По индукции, . Так как --- формация, то отсюда следует, что имеет единственную минимальную нормальную подгруппу . Очевидно, что . Так как --- насыщенная формация, то нетрудно показать, что . Пусть --- силовская подгруппа из . Покажем, что . Пусть --- абелева группа. Так как --- -субнормальная подгруппа группы , то, согласно теореме 2.2.8, . Пусть --- неабелева группа. В этом случае есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и . Рассмотрим подгруппу . Согласно лемме 3.1.5, --- -субнормальная подгруппа группы . Пусть . Так как и --- собственная -субнормальная подгруппа группы , то равенство невозможно. Итак, . Так как и --- насыщенная формация, то . Отсюда следует, что
А это значит, что . Если , то . Последнее равенство невозможно, так как согласно лемме 3.1.4 --- собственная -субнормальная подгруппа . Итак, --- собственная подгруппа . Если , то
Так как и --- наследственная формация, то . Но тогда нетрудно заметить, что . Так как , то согласно лемме 3.1.4, --- -субнормальная подгруппа. Так как и --- наследственная формация, то любая силовская подгруппа -субнормальна в . Согласно лемме 3.1.4, --- -субнормальная подгруппа группы . По индукции, . Отсюда следует, что для любой . Аналогичным образом доказывается, что для любой , где --- любая силовская подгруппа из . Из того, что , следует . Рассмотрим два случая: и . Пусть . Покажем, что . Если --- абелева, то --- примарная -группа, где . Отсюда следует, что . Если --- неабелева, то есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп. Так как --- нормальная подгруппа из , то
Так как , то очевидно, что . Так как , то для любой . Следовательно, . Пусть теперь . Если --- неабелева, то . Тогда . Отсюда следует, что . А это значит, что . Отсюда следует, что , где --- любое простое число из . Рассмотрим подгруппу , где --- любая силовская подгруппа из . Если , то, как и выше, получаем, что . Если , то, как и выше, получаем, что . Отсюда следует, что , где --- любое простое число из . Согласно лемме 2.2.9, любая силовская подгруппа группы есть , где --- силовские подгруппы из и соответственно. Отсюда следует, что любое простое число из принадлежит . Следовательно, . А это значит, что . Пусть --- абелева группа, то . Но тогда . Ввиду , получаем, что для любой . А это значит, что . Пусть теперь --- произвольная наследственная формация и . По лемме 3.2.1, композиционные факторы группы содержатся среди композиционных факторов групп из . Это значит, что принадлежит . Пусть . Так как , то ввиду леммы 3.2.2, силовские подгруппы из и -субнормальны в . По доказанному, . Так как , то, по лемме 3.2.2, . Теорема доказана. 2.4 Следствие (В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков [33]). Пусть --- наследственная формация. Тогда всякая формация вида является сверхрадикальной. Доказательство. Пусть , где и --- -субнормальные -подгруппы группы . Так как --- наследственная формация, то согласно лемме 3.1.4, любая силовская подгруппа из (из ) -субнормальна в (соответственно в ). Отсюда, согласно лемме 3.1.4, любая силовская подгруппа из и из -субнормальна в . Теперь требуемый результат следует из теоремы 3.2.3. 2.5 Следствие (В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков [33]). Формация вида является сверхрадикальной. 2.6 Следствие. Пусть --- формация всех -нильпотентных групп. Тогда содержит любую группу , где и --- -субнормальные подгруппы группы , принадлежащие . 2.7 Следствие. Пусть --- формация всех -замкнутых групп. Тогда содержит любую группу , где и --- -субнормальные подгруппы группы , принадлежащие . 2.8 Следствие. Пусть --- формация всех -разложимых групп. Тогда содержит любую группу , где и --- -субнормальные подгруппы группы , принадлежащие . 2.9 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть . Тогда формация содержит любую группу , у которой и силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в . 2.10 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть --- формация всех -нильпо- тентных групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в . 2.11 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть --- формация всех -замкнутых групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в . 2.12 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть --- формация всех -разложимых групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в . 2.13 Лемма. Пусть --- непустая наследственная формация. Пусть все композиционные факторы группы принадлежат . Тогда следующие утверждения эквивалентны: 1) --- -субнормальная подгруппа группы ; 2) --- -достижимая подгруппа группы . Доказательство. Пусть --- -субнормальная подгруппа группы . Тогда, по определению, --- -достижимая подгруппа группы . Пусть --- -достижимая подгруппа группы . Тогда существует цепь
в которой для любого либо нормальна в , либо . Пусть . Уплотним участок от до цепи до максимальной -цепи. Ввиду утверждения 1) леммы 3.1.4, все подгруппы , содержащие , -субнормальны в . Пусть теперь нормальна в . Можно считать, что --- максимальная нормальная подгруппа (в противном случае уплотняем участок от до до композиционной -цепи). Ввиду условия леммы , т. е. . Пришли к рассматриваемому выше случаю. Теперь, ввиду утверждения 1) леммы 3.1.4, подгруппа -субнормальна в . Лемма доказана. 2.14 Лемма. Пусть --- наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны: 1) любая группа , где и любые силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в , принадлежит ; 2) любая группа , где и любые силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в , принадлежит . Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2). Доказательство проведем индукцией по порядку группы . Пусть --- минимальная нормальная подгруппа группы . Очевидно, что . Пусть --- произвольная -силовская подгруппа из . Ясно, что --- -силовская подгруппа из . По лемме 3.1.5, --- -достижимая подгруппа группы . Аналогичным образом доказыватся, что любая силовская подгруппа из -достижима в . Так как , то по индукции, . Предположим, что и --- две различные минимальные нормальные подгруппы группы . Выше показано, что , . Так как --- формация, то . Итак, имеет единственную минимальную нормальную подгруппу . Покажем, что . Предположим противное. Тогда, как и выше, с учетом индукции можно показать, что . Так как --- наследственная формация, то . Итак, . Рассмотрим следующие два случая. 1) Пусть --- абелева, тогда --- примарная группа. Так как --- насыщенная формация и , то . Как и выше, с учетом индукции можно показать, что . Теперь, с учетом леммы 3.2.13 и условия следует, что . 2) Пусть --- неабелева группа. В этом случае
есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и . Рассмотрим подгруппу . Согласно лемме 3.1.5, --- -субнормальная подгруппа группы . Пусть . Так как и --- собственная -субнормальная подгруппа группы , то равенство невозможно. Итак, . Так как и --- насыщенная формация, то . Отсюда следует, что
А это значит, что . Если , то . Последнее равенство невозможно, так как , согласно лемме 3.1.4, собственная -субнормальная подгруппа . Итак, --- собственная подгруппа . Если , то
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (182)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |