Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции полей.

Глава 3.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

Закон Кулона.

     

   Сила электростатического взаимодействия точечных зарядов, находящихся в вакууме, прямо пропорциональна произведению q₁q₂ этих зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния r между зарядами и направлена вдоль соединяющей их прямой:

(закон Кулона).

Между разноименными зарядами действуют силы притяжения, между одноименными - силы отталкивания.

В СИ коэффициент пропорциональности в законе Кулона

 

3.1.1. Найдите силу F, с которой взаимодействуют два точечных заряда величиной q = 1,0 Кл каждый, находящиеся на расстоянии r = 1,0 км друг от друга. (1)

3.1.2. Предполагая, что электрон в атоме водорода движется по круговой орбите радиусом r₀ = 0,53×10^-10 м, определите силу взаимодействия F между протоном и электроном, скорость v движения электрона по орбите и время Т, в течение которого электрон совершает один оборот вокруг протона. (1)

3.1.3. Во сколько раз сила F_эл электростатического отталкивания двух электронов превышает силу F_г их гравитационного притяжения? (1)

3.1.4. Два шарика, имеющие одинаковые массы m = 0,1 г и одинаковые отрицательные заряды, в состоянии невесомости находятся в равновесии на любом расстоянии друг от друга, заметно превосходящем их размеры. Определите число N избыточных электронов на каждом шарике. Определите отношение Dm/m массы избыточных электронов к массе шарика. (1)

3.1.5. Два точечных заряда q и 4q находятся на расстоянии L друг от друга. Какой заряд Q и на каком расстоянии x от первого заряда нужно поместить, чтобы вся система находилась в равновесии? Является ли такое равновесие устойчивым? (2)

3.1.6. Четыре одинаковых заряда q размещены в вершинах квадрата. Какой заряд Q следует поместить в центр квадрата, чтобы система находилась в равновесии? (2)

3.1.7. Три положительных заряда q₁, q₂ и q₃ расположены на одной прямой, причем заряд q₂ связан одинаковыми нитями длиной L с зарядами q₁ и q₃. Определите силы натяжения Т нитей. (2)

3.1.8. Четыре заряда q , Q , q , Q связаны пятью нитями длиной L, как показано на рис. 3.1.8. Определите натяжение T нити, связывающей заряды Q, считая, что Q > q. (2)

 

                                 Q

                         

                               Q

                  Рис. 3.1.8.                                              Рис. 3.1.9.                   

3.1.9. Два одинаковых заряженных шарика массой m каждый, подвешенных в одной точке на нитях длиной L, разошлись так, что угол между нитями стал прямым (рис. 3.1.9). Определите заряд q шариков. (2)

3.1.10. На нити подвешен шарик массой m = 9,8 г, которому сообщили заряд q = 1 мкКл. Когда к нему поднесли снизу заряженный таким же зарядом шарик, сила натяжения нити уменьшилась в n = 4 раза. Определите расстояние r между центрами шариков. (2)

3.1.11. Два заряженных шарика соединены нитью длиной L = 10 см. Отношение масс шариков m₁/m₂ = 2, заряды одинаковы по величине |q| = 10^-7 Кл, но противоположны по знаку. Какую внешнюю силу F надо приложить к шарику массой m₁, чтобы в процессе движения нить была натянута? (2)

3.1.12. По тонкому проволочному кольцу радиусом R равномерно распределен электрический заряд q. В центре кольца расположен одноименный с q  точечный заряд Q, причем Q >> q. Определите силу Т натяжения проволоки, из которой изготовлено кольцо. (3)

3.1.13. Внутри гладкой сферы диаметром d находится маленький заряженный шарик массой m. Какой величины заряд Q нужно поместить в нижней точке сферы для того, чтобы шарик удерживался в ее верхней точке? Заряд шарика q. (4)

Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции полей.

 

 

Вектор напряженности электрического поля, являющийся его силовой характеристикой, равен отношению силы F, действующей со стороны электрического поля на точечный пробный заряд q, помещенный в рассматриваемую точку поля, к величине q этого заряда:

E = F/q.

Напряженность электростатического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом q, равна

E = r,

где r - радиус-вектор, соединяющий заряд q с точкой, где определяется напряженность поля;

|E| = .

Принцип суперпозиции электрических полей (принцип независимости действия электрических полей): напряженность электрического поля, созданного несколькими источниками, равна геометрической сумме напряженностей полей, созданных каждым из источников в отдельности.

 

3.2.1. Два одинаковых по величине заряда находятся на некотором расстоянии друг от друга. В каком случае напряженность поля в точке, расположенной на половине расстояния между ними, больше: когда заряды одноименные или разноименные? (1)

3.2.2. Изобразите картину силовых линий электрического поля, созданного двумя точечными зарядами: а) +q и +q ; б) +q  и -q ; в) +q и +2q ; г) +q и -2q (q > 0). (1)

3.2.3. Расстояние между точечными зарядами q и nq (n = 9) составляет L = 8 см. На каком расстоянии x от первого заряда находится точка, в которой напряженность поля равна нулю? (1)

3.2.4. В трех вершинах квадрата со стороной à = 40 см находятся одинаковые положительные заряды q = 5 нКл каждый. Найдите напряженность поля Е в четвертой вершине квадрата. (1)

3.2.5. В вершинах квадрата ABCD, сторона которого равна a, находятся заряды q_A = q, q_B = -q , q_C = -2q , q_D = 2q. Найдите напряженность поля Е  в центре квадрата. (1)

3.2.6. В вершинах равностороннего треугольника ABC со стороной а находятся заряды q_A = q, q_B = -2q, q_C = -2q. Найдите напряженность поля Е  в центре О треугольника. (1)

3.2.7. Найдите напряженность электрического поля Е в точке, находящейся посередине между точечными зарядами q₁ = 8 нКл и q₂ = -6 нКл. Расстояние между зарядами равно r = 10 см. (1)

3.2.8. Напряженность электрического поля, созданного точечным зарядом q, в точках А и В равна соответственно E_А = 36 В/м и Е_В = 9 В/м. Определите напряженность электрического поля в точке С, лежащей посередине между точками А и В (рис. 3.2.8). (2)

3.2.9. Напряженность электрического поля, созданного точечным зарядом q, в точках А и В равна соответственно E_А = 0,2 кВ/м и Е_В = 0,1 кВ/м. Определите напряженность электрического поля в точке С (рис. 3.2.9). (2)

3.2.10. В однородном электрическом поле с вектором напряженности Е, направленным вертикально вниз, равномерно вращается шарик массы m с положительным зарядом q, подвешенный на нити длины L. Угол отклонения нити от вертикали равен a. Определите силу натяжения нити Т и кинетическую энергию К шарика. (2)

                                                              А

             q  B

 

       Рис. 3.2.8.                                                 Рис. 3.2.9.

 

3.2.11. По кольцу радиусом R равномерно распределен заряд Q. Определите напряженность электрического поля в центре кольца, а также в точке, находящейся на расстоянии h от центра кольца на прямой, проходящей через центр кольца и перпендикулярной к его плоскости. (2)

3.2.12. Имеются два точечных заряженных тела с зарядами -q и +Q и массами m и М соответственно. На каком расстоянии d друг от друга должны быть расположены заряды, чтобы во внешнем однородном электрическом поле с напряженностью Е, направленной вдоль прямой, проходящей через заряды, они ускорялись как одно целое (т.е. не изменяя взаимного расположения)? (3)

 

 

3.2. Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса - Остроградского.

 

Поток вектора напряженности DФ_Е однородного электрического поля сквозь плоский участок поверхности, выделенной в поле, определен соотношением

DФ_Е = E×DS = E DS cos j = E_n DS = E DS_^.

Здесь Е - вектор напряженности электрического поля в точках площадки DS, j - угол, который составляет вектор Е с единичным вектором n, нормальным к площадке DS, E_n = E cos j - проекция вектора Е на направление n, DS _^ = DS cos j - площадь проекции площадки DS на плоскость, перпендикулярную вектору Е.

Теорема Гаусса - Остроградского: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность, проведенную в поле, пропорционален алгебраической сумме Sq_внутр электрических зарядов, заключенных внутри этой поверхности:

Ф_Е =   (в СИ);

при вычислении Ф_Е векторы нормали к поверхности считаются направленными наружу (т.н. внешняя нормаль).

3.3.1. Напряженность однородного электрического поля равна Е. Чему равен поток вектора напряженности электрического поля Ф_Е через квадрат со стороной L, плоскость которого расположена под углом a = 30^о к направлению электрического поля? (1)

3.3.2. Определите зависимость модуля напряженности электрического поля Е, создаваемого заряженной сферой радиуса R, от расстояния r до ее центра. Полный заряд Q сферы равномерно распределен по ее поверхности. (2)

3.3.3. Определите зависимость модуля напряженности электрического поля Е, создаваемого бесконечно длинной прямой нитью, равномерно заряженной по длине, от расстояния r до нити. Заряд единицы длины нити равен r. (2)

3.3.4. Определите зависимость напряженности электрического поля Е, создаваемого бесконечной заряженной плоскостью, от расстояния х до плоскости. Поверхностная плотность заряда плоскости равна s. (2)

3.3.5. Определите модуль напряженности Е электрического поля, созданного равномерно заряженным шаром радиуса R, на расстоянии r от его центра, если объемная плотность заряда равна r; изобразите график зависимости E(r). (2)

3.3.6. Определите модуль напряженности Е электрического поля, созданного равномерно заряженным бесконечно длинным цилиндром радиуса R, на расстоянии r от оси цилиндра. Объемная плотность заряда внутри цилиндра равна r. Изобразите график зависимости E(r). (2)

3.3.7. Определите модуль напряженности Е электрического поля, созданного равномерно заряженной бесконечной пластиной толщины h, на расстоянии x от средней плоскости пластины. Объемная плотность заряда внутри пластины равна r. Изобразите график зависимости E(x). (2)

3.3.8. При значении напряженности электрического поля Е₀ = 3×10⁶ В/м воздух перестает быть надежным изолятором и в нем происходит искровой разряд. Каким должен быть радиус шара R, чтобы на нем мог удержаться заряд в Q = 1 Кл? (3)

3.3.9. Две пересекающиеся под углом a бесконечные плоскости делят пространство на четыре области (рис. 3.3.9). Определите модуль напряженности электрического поля Е в областях 1 и 2, если плоскости разноименно заряжены с одинаковой по модулю поверхностной плотностью (|s₁| = |s₂| = s; s₁ = -s₂). (3)

 

     

 

                  Рис. 3.3.9.                                   Рис. 3.3.10.

3.3.10. Две бесконечные пластины толщины h заряжены равномерно по объему и сложены вместе (рис. 3.3.10). Объемная плотность заряда первой пластины равна r, второй -r. Найдите максимальное значение напряженности электрического поля Е_max. (3)

3.3.11. В равномерно заряженной бесконечной пластине вырезали сферическую полость так, как показано на рис. 3.3.11. Толщина пластины h, объемная плотность заряда r. Определите модуль напряженности электрического поля Е в точках А и В, а также исследуйте зависимость Е вдоль прямой ОА от расстояния x до точки О. (3)

3.3.12. В равномерно заряженном шаре радиуса R вырезали сферическую полость радиуса r, центр О₁ которой находится на расстоянии L от центра шара О. (рис. 3.3.12). Объемная плотность заряда равна r. Найдите зависимость напряженности электрического поля Е вдоль прямой ОО₁ от расстояния x до центра шара О. Докажите, что электрическое поле в полости однородно. (4)

 

        

 

                  Рис. 3.3.11.                                  Рис. 3.3.12.

 

3.3.13. Две плоские вертикальные пластины, площадью S каждая, находятся на расстоянии d, малом по сравнению с их размерами. Заряд одной из пластин равен +q, заряд другой +3q. Определите силу F взаимодействия между пластинами. (3)

3.3.14. Вертикальная непроводящая пластина больших размеров равномерно заряжена с поверхностной плотностью s = 3,0×10^-6 Кл/м. На прикрепленной к пластине нити подвешен маленький шарик массы m = 2 г, несущий заряд q того же знака, что и заряд пластины. Определите величину заряда q, если нить подвеса образует с вертикалью угол a = 45^о. (3)