Работа сил электростатического поля. Потенциал.

Работа DА, совершаемая кулоновскими силами при перемещении Dr точечного заряда q в однородном электростатическом поле

DА = F×Dr = qE×Dr.

Работа DА, совершаемая силами электростатического взаимодействия при перемещении точечного заряда q в электростатическом поле, равна уменьшению потенциальной энергии взаимодействия W этого заряда с полем:

DA = -DW = W_{начальн} - W_конечн.

Энергия взаимодействия двух точечных зарядов q₁ и q₂, находящихся в вакууме на расстоянии r один от другого, равна

в СИ

Энергия взаимодействия в вакууме системы N точечных зарядов равна

.

Потенциалом электростатического поля называют физическую величину j, равную отношению потенциальной энергии W взаимодействия пробного точечного электрического заряда, помещенного в рассматриваемую точку, с электростатическим полем, к величине q этого заряда:

j = W/q.

Потенциал электростатического поля, созданного в вакууме точечным зарядом q, на расстоянии r от него равен

 в СИ .

При наложении электрических полей их потенциалы складываются алгебраически.

Работа DА, совершаемая силами электростатического взаимодействия при перемещении точечного заряда q в электростатическом поле, равна

DA = -DW = - qDj= q (j_{начальн} - j_конечн).

3.4.1. Два одинаковых точечных заряда величиной q = 10^-6 Кл каждый находятся на расстоянии r₁ = 50 см друг от друга. Какую работу А надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния r₂ = 5 см? (1)

3.4.2. Точечные заряды +q, -2q, +3q расположены в вершинах правильного треугольника со стороной а. Какова потенциальная энергия W этой системы? (1)

3.4.3. Два одноименных точечных заряда q₁ = 20 нКл и q₂ = 5 нКл находятся на расстоянии r = 0,5 см друг от друга. Какую работу А должны совершить силы электростатического взаимодействия при увеличении расстояния между зарядами в n = 5 раз? (1)

3.4.4. Неподвижный точечный заряд Q создает в некоторой точке А электрическое поле напряженностью Е_А, а в точке В - электрическое поле напряженностью Е_В. Определите работу А, необходимую для перемещения заряда q из точки А в точку В. (1)

3.4.5. Два разноименных точечных заряда, одинаковых по абсолютной величине, находятся на расстоянии L = 30 см друг от друга. В точках, находящихся на таком же расстоянии от обоих зарядов, напряженность электрического поля Е = 100 В/м. Определите потенциал поля j в точке, расположенной между зарядами на расстоянии L/3 от положительного заряда. (2)

3.4.6. По кольцу радиусом R равномерно распределен заряд Q. Определите потенциал электрического поля j в центре кольца, а также в точке, находящейся на расстоянии h от центра кольца по перпендикуляру к его плоскости. (2)

3.4.7. Два параллельных тонких кольца радиусом R каждое имеют общую ось. Расстояние между их центрами d. Определите работу А, совершаемую силами электростатического взаимодействия при перемещении заряда q из центра первого кольца в центр второго, если по первому кольцу равномерно распределен заряд q₁, а по второму - заряд q₂. (2)

3.4.8. Множество зарядов (трех значений) q₁ = 10^-9 Кл, q₂ = -2q₁, q₃ = 3q₁ распределены вдоль окружности так, что все одинаковые заряды рассредоточены по окружности равномерно через равный угловой интервал. Определите напряженность и потенциал в центре окружности, если работа по удалению пробного заряда q = 0,01q₁ из центра окружности на бесконечно большое расстояние от нее равна А = 10^-9 Дж. Изменение кинетической энергии пробного заряда пренебрежимо мало. (2)

3.4.9. Три концентрические сферы радиусов R, 2R и 3R имеют заряды +q, +2q и -3q соответственно. Определите потенциалы j сфер. Постройте график зависимости потенциала j(r) от расстояния r до центра сфер. (3)

3.4.10. Две концентрические сферы радиусов R и 2R заряжены равномерно по поверхности зарядами q₁ = 0,1 мкКл и q₁ = 0,2 мкКл соответственно. В точке, находящейся на одинаковом расстоянии от обеих сфер, потенциал электрического поля j = 3 кВ. Определите величину R. (3)

3.4.11. Две большие тонкие параллельные пластины равномерно заряжены с поверхностной плотностью s и -3s соответственно. Расстояние между пластинами d. Определите напряженность поля Е₁ между пластинами и Е₂ вне пластин, а также разность потенциалов Dj = j₁ - j₂ между пластинами. Постройте график изменения напряженности и потенциала электрического поля вдоль линии, перпендикулярной пластинам. (4)

3.4.12. Электрический диполь из двух жестко связанных точечных зарядов +q и -q, расположенных на расстоянии d друг от друга, находится в положении устойчивого равновесия в однородном электрическом поле, напряженность которого равна Е. Какую работу А нужно совершить, чтобы повернуть диполь на угол a = 180^о? (3)

3.4.13. Шар радиусом r, имеющий плотность r₁, помещен в жидкий диэлектрик с плотностью r₂. Определите заряд шара Q, если в однородном электрическом поле, направленном вертикально вверх, шар оказался взвешенным в жидкости. Электрическое поле создается двумя параллельными пластинами, расстояние между которыми d, а разность потенциалов Dj. (2)

3.4.14. Электрон движется по направлению силовых линий однородного электрического поля, напряженность которого Е = 120 В/м. Какое расстояние х он пролетит до полной остановки, если начальная скорость электрона v = 10⁶ м/с? В течение какого времени t он будет двигаться до полной остановки? (2)

3.4.15. В пространство, где одновременно действуют горизонтальное и вертикальное электрические поля с напряженностью Е_х = 400 В/м и Е_у = 300 В/м соответственно, вдоль направления силовой линии результирующего электрического поля влетает электрон, скорость которого на отрезке пути L = 2,7 мм уменьшается в n = 2 раза. Определите скорость электрона v в конце пути. (3)

3.4.16. Шарик с массой m и зарядом q перемещается из точки 1, потенциал которой равен j, в точку 2, потенциал которой равен нулю. Определите скорость v₁ шарика в точке 1, если в точке 2 она стала равной v₂. (1)

3.4.17. Три электрона, первоначально покоившиеся в вершинах равностороннего треугольника со стороной r, движутся под действием сил электростатического отталкивания. Какова будет их скорость v, когда расстояние между ними станет бесконечно большим? (2)

3.4.18. Два протона и два позитрона, первоначально покоившиеся в вершинах квадрата ABCD, разлетаются под действием сил электростатического отталкивания. Отношение их масс M / m = 2000, а заряды одинаковы. Найдите отношение скоростей V / v протонов и позитронов, когда расстояние между ними станет бесконечно большим, считая что первоначально протоны находились в вершинах А и С, а позитроны - в вершинах В и D. (3)

3.4.19. Найдите минимальную кинетическую энергию a - частиц, способных издалека сблизиться с первоначально покоившимся ядром азота до расстояния r₀ = 5,0×10^-15 м. Относительные массы атомов гелия А_не = 4, азота A_N = 14 (a - частицы представляют собой двукратно ионизованные атомы гелия). (3)

3.4.20. Два электрона находятся на бесконечно большом расстоянии друг от друга, причем один из них покоится, а другой движется со скоростью v по направлению к первому. Определите наименьшее расстояние r₀, на которое они сблизятся. (3)

3.4.21. По тонкому кольцу массы M и радиусом R равномерно распределен заряд +Q. С какой скоростью v точечная частица массы m и заряда -q, первоначально покоившаяся на бесконечно большом расстоянии от кольца, пролетит через его центр, если кольцо а) закреплено? б) свободно? Частица движется по перпендикуляру к плоскости кольца, проходящему через его центр. (3)

3.4.22. По тонкому кольцу массы M и радиусом R равномерно распределен заряд Q. Какую минимальную скорость v должна иметь точечная частица массы m и одноименного заряда q на бесконечно большом расстоянии от кольца, чтобы пролететь через его центр, если кольцо а) закреплено? б) свободно? Частица движется по перпендикуляру к плоскости кольца, проходящему через его центр. (3)

3.4.23. Четыре точечных положительных заряда Q расположены в вершинах жестко закрепленной квадратной рамки со стороной а. Частица массы m, имеющая положительный заряд q, движется вдоль оси, перпендикулярной плоскости рамки и проходящей через центр квадрата О. На расстоянии, многократно превышающем а, скорость частицы равна v₀. Определите скорость v частицы при подлете к рамке на расстоянии z от центра О. Какую минимальную скорость v_min должна иметь частица на бесконечно большом расстоянии от рамки, чтобы пролететь сквозь нее? (3)

3.4.24. Шарик массой m = 2 г, имеющий положительный заряд q, начинает скользить без начальной скорости из точки А по гладкой сферической поверхности радиуса R = 10 см. Ниже сферической поверхности, точно под ее центром, расположен точечный отрицательный заряд -Q (рис. 3.4.24). Потенциальная энергия взаимодействия зарядов в начальный момент времени равна W_А = -2×10^-3 Дж. Определите потенциальную энергию W_B взаимодействия зарядов, когда заряд q находится в точке В, если в этом случае результирующая сил реакции со стороны сферической поверхности и кулоновского взаимодействия, приложенных к шарику, F = 0,1 Н. Радиус шарика r << R. (3)

3.4.25. В однородное горизонтальное электростатическое поле с напряженностью Е = 10³ В/м помещена система, состоящая из двух одинаковых, противоположно заряженных шариков, соединенных тонким изолирующим стержнем длиной L = 0,1 м. Система может только вращаться в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Масса и модуль заряда каждого шарика соответственно равны m = 5 г и q = 1 мкКл. Система кратковременным воздействием выводится из состояния устойчивого равновесия и приводится во вращательное движение с начальной угловой скоростью w₀ = 2 с^-1. Определите максимальный угол поворота a_max этой системы. Массой стержня пренебречь. Шарики рассматриваются как материальные точки. (3)

    A         O

      Рис. 3.4.24.                                      Рис. 3.4.26.

3.4.26. По гладкой наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонтом, с высоты h соскальзывает небольшое тело массы m, имеющее отрицательный заряд -q. В точке пересечения вертикали, проведенной через начальное положение тела, с основанием, закреплен заряд +q (рис. 3.4.26). Определите скорость v, с которой тело достигнет основания наклонной плоскости. Начальная скорость тела равна нулю. (3)

3.4.27. В однородном электрическом поле напряженностью Е, направление силовых линий которого совпадает с направлением силы тяжести, на нити длиной L вокруг вертикальной оси вращается шарик массы m, имеющий положительный заряд q. Определите работу А, которую нужно произвести для разгона шарика из состояния покоя до угловой скорости w. (3)

3.4.28. Два небольших одинаково заряженных тела удерживаются на изолирующей горизонтальной гладкой поверхности на расстоянии r = 10 см друг от друга. Сначала отпускают одно из них, а затем, когда расстояние между телами увеличится в n = 3 раза, и другое. Определите скорости тел, когда они разлетятся на большое расстояние. Заряд каждого тела q = 10^-6 Кл, масса m = 1 г. (3)

3.5. Проводники и диэлектрики в электростатическом поле.

В случае изотропного однородного диэлектрика проницаемостью e, заполняющего все пространство между эквипотенциальными поверхностями,

Е = Е₀/e,

где Е₀ - напряженность поля, созданного теми же источниками в отсутствие диэлектрика.

3.5.1. Две одинаковые металлические пластины небольшой толщины сблизили на расстояние, значительно меньшее их линейных размеров, расположив их параллельно друг другу. Одной из пластин сообщили заряд q, другой - заряд 3q. Определите заряд на четырех поверхностях пластин. Изобразите картину силовых линий электрического поля, созданного пластинами. (3)

3.5.2. Металлический заряженный шар радиусом R₁ окружен концентрической проводящей сферической оболочкой, внутренний и внешний радиусы которой равны соответственно R₂ и R₃. Заряд шара равен Q, оболочка не заряжена. Получите выражения для зависимостей напряженности электрического поля Е и потенциала j от расстояния r до центра шара и постройте графики E(r) и j(r). (3)

3.5.3. Сфера радиусом r, которой сообщен заряд q, окружена концентрической тонкостенной проводящей сферической оболочкой радиуса R, заряд которой равен Q. Определите потенциалы сфер j_внутр и j_внеш. (3)

3.5.4. Металлический шар радиусом R₁, заряженный до потенциала j, окружают тонкой сферической проводящей оболочкой радиусом R₂. Определите потенциал шара j₁ после того, как он будет соединен проводником с оболочкой. Первоначальный заряд оболочки равен нулю, центры оболочки и шара совпадают. (3)

3.5.5. Проводящие сферы радиусами R₁ = 15 мм и R₂ = 45 мм, находящиеся одна от другой на расстоянии, многократно превышающем их размеры, заряжены до потенциалов j₁ = 90 В и j₂ = 20 В соответственно. Определите потенциал j сфер после того, как они будут соединены тонкой проволочкой. Какой заряд q и в каком направлении протечет по проволоке? (2)

3.5.6. Металлический шар радиусом R₁, заряженный до потенциала j, окружают концентрической сферической проводящей оболочкой радиуса R₂. Чему станет равен потенциал шара j’, если заземлить оболочку? (3)

3.5.7. N одинаковых капелек ртути заряжены до одного и того же потенциала j₀. Каков будет потенциал j большой капли, образовавшейся в результате слияния этих капелек? (2)

3.5.8. Два проводящих шара радиусом R, несущих заряд q каждый, находятся на расстоянии r один от другого (r >>R). Шары поочередно на некоторое время заземляют. Определите потенциалы j₁ и j₂, а также заряды q₁ и q₂ шаров, заземленных первым и вторым соответственно, в конце процесса. (3)

3.5.9. На расстоянии r от центра незаряженного металлического шара находится точечный заряд q. Определите потенциал шара j. (3)

3.5.10. Небольшой шарик висит над горизонтальной проводящей плоскостью на вертикальной изолирующей упругой нити жесткости k. После того как шарик зарядили, он сместился на x, и расстояние между шариком и плоскостью стало равным L. Определите заряд q шарика. (2)

3.5.11. Точечный заряд q = 100 мкКл находится на расстоянии L = 1,5 см от проводящей плоскости. Какую работу А нужно совершить против сил электростатического взаимодействия, чтобы медленно удалить этот заряд на бесконечно большое расстояние от плоскости? (3)

3.5.12. Два точечных заряда, q и -q, расположены на расстоянии L друг от друга и на одинаковом расстоянии L/2 от проводящей плоскости с одной стороны от нее. Определите модуль F силы, действующей на каждый заряд. (2)

3.5.13. Найдите натяжение Т нити, соединяющей одинаковые шарики радиуса r и массы m каждый, в центре которых находятся одинаковые заряды Q. Один из шариков плавает на поверхности жидкости с плотностью r и диэлектрической проницаемостью e, второй шарик висит на нити внутри жидкости (рис. 3.5.13). Расстояние между центрами шариков L. (2)

                                              Рис. 3.5.13.

3.5.14. Два точечных заряда, находясь в воздухе на расстоянии r₀ = 20 см друг от друга, взаимодействуют с некоторой силой F. На каком расстоянии r друг от друга нужно поместить эти заряды в масле с диэлектрической проницаемостью e = 5, чтобы они взаимодействовали с той же силой? (1)

3.5.15. Два заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины, опускают в керосин. Какова должна быть плотность материала шариков r, чтобы угол расхождения нитей в воздухе и керосине был одинаков? Массы шариков равны. Диэлектрическая проницаемость керосина e = 2, плотность керосина r₀ = 800 кг/м³. (2)

3.5.16. Две металлические пластины, имеющие заряды q₁ и q₂, расположены параллельно одна другой на расстоянии d. Пространство между пластинами заполнено диэлектриком с проницаемостью e. Площадь пластин S. Определите разность потенциалов Dj между пластинами. (2)

3.5.17. Металлический заряженный шар радиусом R₁ помещен в центре диэлектрической сферической оболочки, внутренний и внешний радиусы которой равны соответственно R₂ и R₃, а относительная диэлектрическая проницаемость e. Заряд шара равен q, оболочка не заряжена. Получите выражения для зависимости напряженности поля Е и потенциала j от расстояния r до центра шара и постройте графики E(r) и j(r). (3)